Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
y=x^3-6x^2+8x
-
y=x^3(x+2)^2
-
y=x^2+2x
-
y=x^2+2x-8
-
Expresiones idénticas
- y=x^ cuatro -8 dos x^2+ ochenta y uno /(x+ uno)(x+ nueve)
- y es igual a x en el grado 4 menos 82x al cuadrado más 81 dividir por (x más 1)(x más 9)
- y es igual a x en el grado cuatro menos 8 dos x al cuadrado más ochenta y uno dividir por (x más uno)(x más nueve)
- y=x4-82x2+81/(x+1)(x+9)
- y=x4-82x2+81/x+1x+9
- y=x⁴-82x²+81/(x+1)(x+9)
- y=x en el grado 4-82x en el grado 2+81/(x+1)(x+9)
- y=x^4-82x^2+81/x+1x+9
- y=x^4-82x^2+81 dividir por (x+1)(x+9)
-
Expresiones semejantes
- y=x^4-82x^2-81/(x+1)(x+9)
- y=x^4-82x^2+81/(x-1)(x+9)
- y=x^4+82x^2+81/(x+1)(x+9)
- y=x^4-82x^2+81/(x+1)(x-9)
Gráfico de la función y = y=x^4-82x^2+81/(x+1)(x+9)
Solución
Ha introducido
[src]
4 2 81
f(x) = x - 82*x + -----*(x + 9)
x + 1
$$f{\left(x \right)} = \frac{81}{x + 1} \left(x + 9\right) + \left(x^{4} - 82 x^{2}\right)$$
f = (81/(x + 1))*(x + 9) + x^4 - 82*x^2
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{1} = -1$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{81}{x + 1} \left(x + 9\right) + \left(x^{4} - 82 x^{2}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = \operatorname{CRootOf} {\left(x^{5} + x^{4} - 82 x^{3} - 82 x^{2} + 81 x + 729, 0\right)}$$
$$x_{2} = \operatorname{CRootOf} {\left(x^{5} + x^{4} - 82 x^{3} - 82 x^{2} + 81 x + 729, 1\right)}$$
$$x_{3} = \operatorname{CRootOf} {\left(x^{5} + x^{4} - 82 x^{3} - 82 x^{2} + 81 x + 729, 2\right)}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -9.05501259648855$$
$$x_{2} = 1.95908448828795$$
$$x_{3} = 8.95420705822668$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{81}{x + 1} \left(x + 9\right) + \left(x^{4} - 82 x^{2}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = \operatorname{CRootOf} {\left(x^{5} + x^{4} - 82 x^{3} - 82 x^{2} + 81 x + 729, 0\right)}$$
$$x_{2} = \operatorname{CRootOf} {\left(x^{5} + x^{4} - 82 x^{3} - 82 x^{2} + 81 x + 729, 1\right)}$$
$$x_{3} = \operatorname{CRootOf} {\left(x^{5} + x^{4} - 82 x^{3} - 82 x^{2} + 81 x + 729, 2\right)}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -9.05501259648855$$
$$x_{2} = 1.95908448828795$$
$$x_{3} = 8.95420705822668$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$4 x^{3} - 164 x + \frac{81}{x + 1} - \frac{81 \left(x + 9\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -6.33248230852117$$
$$x_{2} = -2.38660979695103$$
$$x_{3} = 6.43853473653603$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = -6.33248230852117$$
$$x_{2} = 6.43853473653603$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = -2.38660979695103$$
Decrece en los intervalos
$$\left[-6.33248230852117, -2.38660979695103\right] \cup \left[6.43853473653603, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, -6.33248230852117\right] \cup \left[-2.38660979695103, 6.43853473653603\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$4 x^{3} - 164 x + \frac{81}{x + 1} - \frac{81 \left(x + 9\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -6.33248230852117$$
$$x_{2} = -2.38660979695103$$
$$x_{3} = 6.43853473653603$$
Signos de extremos en los puntos:
(-6.33248230852117, -1720.70998833066)
(-2.38660979695103, -820.947827868688)
(6.43853473653603, -1512.67929027235)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = -6.33248230852117$$
$$x_{2} = 6.43853473653603$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = -2.38660979695103$$
Decrece en los intervalos
$$\left[-6.33248230852117, -2.38660979695103\right] \cup \left[6.43853473653603, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, -6.33248230852117\right] \cup \left[-2.38660979695103, 6.43853473653603\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$2 \left(6 x^{2} - 82 - \frac{81}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{81 \left(x + 9\right)}{\left(x + 1\right)^{3}}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -4.141337923839$$
$$x_{2} = 1.04827531742754$$
$$x_{3} = 3.53697984103482$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -1$$
$$\lim_{x \to -1^-}\left(2 \left(6 x^{2} - 82 - \frac{81}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{81 \left(x + 9\right)}{\left(x + 1\right)^{3}}\right)\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to -1^+}\left(2 \left(6 x^{2} - 82 - \frac{81}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{81 \left(x + 9\right)}{\left(x + 1\right)^{3}}\right)\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -1$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, -4.141337923839\right] \cup \left[3.53697984103482, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[1.04827531742754, 3.53697984103482\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$2 \left(6 x^{2} - 82 - \frac{81}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{81 \left(x + 9\right)}{\left(x + 1\right)^{3}}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -4.141337923839$$
$$x_{2} = 1.04827531742754$$
$$x_{3} = 3.53697984103482$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -1$$
$$\lim_{x \to -1^-}\left(2 \left(6 x^{2} - 82 - \frac{81}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{81 \left(x + 9\right)}{\left(x + 1\right)^{3}}\right)\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to -1^+}\left(2 \left(6 x^{2} - 82 - \frac{81}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{81 \left(x + 9\right)}{\left(x + 1\right)^{3}}\right)\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -1$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, -4.141337923839\right] \cup \left[3.53697984103482, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[1.04827531742754, 3.53697984103482\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{1} = -1$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{81}{x + 1} \left(x + 9\right) + \left(x^{4} - 82 x^{2}\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{81}{x + 1} \left(x + 9\right) + \left(x^{4} - 82 x^{2}\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{81}{x + 1} \left(x + 9\right) + \left(x^{4} - 82 x^{2}\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{81}{x + 1} \left(x + 9\right) + \left(x^{4} - 82 x^{2}\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^4 - 82*x^2 + (81/(x + 1))*(x + 9), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{81}{x + 1} \left(x + 9\right) + \left(x^{4} - 82 x^{2}\right)}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{81}{x + 1} \left(x + 9\right) + \left(x^{4} - 82 x^{2}\right)}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{81}{x + 1} \left(x + 9\right) + \left(x^{4} - 82 x^{2}\right)}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{81}{x + 1} \left(x + 9\right) + \left(x^{4} - 82 x^{2}\right)}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{81}{x + 1} \left(x + 9\right) + \left(x^{4} - 82 x^{2}\right) = x^{4} - 82 x^{2} + \frac{81 \left(9 - x\right)}{1 - x}$$
- No
$$\frac{81}{x + 1} \left(x + 9\right) + \left(x^{4} - 82 x^{2}\right) = - x^{4} + 82 x^{2} - \frac{81 \left(9 - x\right)}{1 - x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{81}{x + 1} \left(x + 9\right) + \left(x^{4} - 82 x^{2}\right) = x^{4} - 82 x^{2} + \frac{81 \left(9 - x\right)}{1 - x}$$
- No
$$\frac{81}{x + 1} \left(x + 9\right) + \left(x^{4} - 82 x^{2}\right) = - x^{4} + 82 x^{2} - \frac{81 \left(9 - x\right)}{1 - x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico