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8/(x^2-4)
Trazado el gráfico de la función/ 8/(x^2-4)

Gráfico de la función y = 8/(x^2-4)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
         8   
f(x) = ------
        2    
       x  - 4
f(x)=8x2−4f{\left(x \right)} = \frac{8}{x^{2} - 4} 
f = 8/(x^2 - 4)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-100100
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−2x_{1} = -2
x2=2x_{2} = 2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
8x2−4=0\frac{8}{x^{2} - 4} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 8/(x^2 - 4).
8−4+02\frac{8}{-4 + 0^{2}}
Resultado:
f(0)=−2f{\left(0 \right)} = -2
Punto:
(0, -2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−16x(x2−4)2=0- \frac{16 x}{\left(x^{2} - 4\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
Signos de extremos en los puntos:
(0, -2)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Decrece en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Crece en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
16(4x2x2−4−1)(x2−4)2=0\frac{16 \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 4} - 1\right)}{\left(x^{2} - 4\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−2x_{1} = -2
x2=2x_{2} = 2
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(8x2−4)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{8}{x^{2} - 4}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(8x2−4)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{8}{x^{2} - 4}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 8/(x^2 - 4), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(8x(x2−4))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{8}{x \left(x^{2} - 4\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(8x(x2−4))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{8}{x \left(x^{2} - 4\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
8x2−4=8x2−4\frac{8}{x^{2} - 4} = \frac{8}{x^{2} - 4}
- Sí
8x2−4=−8x2−4\frac{8}{x^{2} - 4} = - \frac{8}{x^{2} - 4}
- No
es decir, función
es
par
Gráfico
Gráfico de la función y = 8/(x^2-4)
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