Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ (x*x+1)/(sqrt(x*x-1))

Gráfico de la función y = (x*x+1)/(sqrt(x*x-1))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
         x*x + 1  
f(x) = -----------
         _________
       \/ x*x - 1
$$f{\left(x \right)} = \frac{x x + 1}{\sqrt{x x - 1}}$$ 
f = (x*x + 1)/sqrt(x*x - 1)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x x + 1}{\sqrt{x x - 1}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x*x + 1)/sqrt(x*x - 1).
$$\frac{0 \cdot 0 + 1}{\sqrt{-1 + 0 \cdot 0}}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = - i$$
Punto:
(0, -i)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{2 x}{\sqrt{x x - 1}} - \frac{x \left(x x + 1\right)}{\left(x x - 1\right)^{\frac{3}{2}}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \sqrt{3}$$
$$x_{3} = \sqrt{3}$$
Signos de extremos en los puntos:
(0, -I)

    ___      ___ 
(-\/ 3, 2*\/ 2 )

   ___      ___ 
(\/ 3, 2*\/ 2 )


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \sqrt{3}$$
$$x_{2} = \sqrt{3}$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[\sqrt{3}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \sqrt{3}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{- \frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} + 2 + \frac{\left(x^{2} + 1\right) \left(\frac{3 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right)}{x^{2} - 1}}{\sqrt{x^{2} - 1}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x x + 1}{\sqrt{x x - 1}}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x x + 1}{\sqrt{x x - 1}}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x*x + 1)/sqrt(x*x - 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x x + 1}{x \sqrt{x x - 1}}\right) = -1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = - x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x x + 1}{x \sqrt{x x - 1}}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = x$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{x x + 1}{\sqrt{x x - 1}} = \frac{x^{2} + 1}{\sqrt{x^{2} - 1}}$$
- No
$$\frac{x x + 1}{\sqrt{x x - 1}} = - \frac{x^{2} + 1}{\sqrt{x^{2} - 1}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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