Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ log(2,x^2+6x+8)

Gráfico de la función y = log(2,x^2+6x+8)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
             log(2)     
f(x) = -----------------
          / 2          \
       log\x  + 6*x + 8/
f(x)=log⁡(2)log⁡((x2+6x)+8)f{\left(x \right)} = \frac{\log{\left(2 \right)}}{\log{\left(\left(x^{2} + 6 x\right) + 8 \right)}} 
f = log(2)/log(x^2 + 6*x + 8)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-2020
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−4.41421356237309x_{1} = -4.41421356237309
x2=−1.5857864376269x_{2} = -1.5857864376269
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
log⁡(2)log⁡((x2+6x)+8)=0\frac{\log{\left(2 \right)}}{\log{\left(\left(x^{2} + 6 x\right) + 8 \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log(2)/log(x^2 + 6*x + 8).
log⁡(2)log⁡((02+0⋅6)+8)\frac{\log{\left(2 \right)}}{\log{\left(\left(0^{2} + 0 \cdot 6\right) + 8 \right)}}
Resultado:
f(0)=log⁡(2)log⁡(8)f{\left(0 \right)} = \frac{\log{\left(2 \right)}}{\log{\left(8 \right)}}
Punto:
(0, log(2)/log(8))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−(2x+6)log⁡(2)((x2+6x)+8)log⁡((x2+6x)+8)2=0- \frac{\left(2 x + 6\right) \log{\left(2 \right)}}{\left(\left(x^{2} + 6 x\right) + 8\right) \log{\left(\left(x^{2} + 6 x\right) + 8 \right)}^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−3x_{1} = -3
Signos de extremos en los puntos:
     -I*log(2)  
(-3, ----------)
         pi


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=−3x_{1} = -3
Decrece en los intervalos
(−∞,−3]\left(-\infty, -3\right]
Crece en los intervalos
[−3,∞)\left[-3, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(2(x+3)2x2+6x+8+4(x+3)2(x2+6x+8)log⁡(x2+6x+8)−1)log⁡(2)(x2+6x+8)log⁡(x2+6x+8)2=0\frac{2 \left(\frac{2 \left(x + 3\right)^{2}}{x^{2} + 6 x + 8} + \frac{4 \left(x + 3\right)^{2}}{\left(x^{2} + 6 x + 8\right) \log{\left(x^{2} + 6 x + 8 \right)}} - 1\right) \log{\left(2 \right)}}{\left(x^{2} + 6 x + 8\right) \log{\left(x^{2} + 6 x + 8 \right)}^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=155696.481255537x_{1} = 155696.481255537
x2=164699.741069792x_{2} = 164699.741069792
x3=102745.118753583x_{3} = 102745.118753583
x4=120168.633575834x_{4} = 120168.633575834
x5=−177587.29370865x_{5} = -177587.29370865
x6=94134.4918327172x_{6} = 94134.4918327172
x7=205715.442806317x_{7} = 205715.442806317
x8=115789.130931816x_{8} = 115789.130931816
x9=191958.585932719x_{9} = 191958.585932719
x10=89857.0718999525x_{10} = 89857.0718999525
x11=56444.9713258052x_{11} = 56444.9713258052
x12=160192.585403383x_{12} = 160192.585403383
x13=146738.741698596x_{13} = 146738.741698596
x14=−159501.845579111x_{14} = -159501.845579111
x15=−150524.541787068x_{15} = -150524.541787068
x16=−80714.5160455582x_{16} = -80714.5160455582
x17=−146053.375907282x_{17} = -146053.375907282
x18=−168523.568496299x_{18} = -168523.568496299
x19=−195832.225532967x_{19} = -195832.225532967
x20=−55821.2210497517x_{20} = -55821.2210497517
x21=187391.063716x_{21} = 187391.063716
x22=169217.641089884x_{22} = 169217.641089884
x23=98430.7811721568x_{23} = 98430.7811721568
x24=68787.4279361183x_{24} = 68787.4279361183
x25=−59902.1278157198x_{25} = -59902.1278157198
x26=−173050.322293489x_{26} = -173050.322293489
x27=−84948.1315890447x_{27} = -84948.1315890447
x28=−64012.4958936911x_{28} = -64012.4958936911
x29=−164007.31161835x_{29} = -164007.31161835
x30=−123887.716463379x_{30} = -123887.716463379
x31=−93477.0672041229x_{31} = -93477.0672041229
x32=−102082.087684706x_{32} = -102082.087684706
x33=201120.989238219x_{33} = 201120.989238219
x34=−76502.8838889409x_{34} = -76502.8838889409
x35=−106411.08792188x_{35} = -106411.08792188
x36=210318.461242339x_{36} = 210318.461242339
x37=52390.5864160638x_{37} = 52390.5864160638
x38=−141594.347580223x_{38} = -141594.347580223
x39=142277.81044587x_{39} = 142277.81044587
x40=182832.962651317x_{40} = 182832.962651317
x41=137829.342273088x_{41} = 137829.342273088
x42=−155007.480062937x_{42} = -155007.480062937
x43=−72314.4303790954x_{43} = -72314.4303790954
x44=−119495.687555167x_{44} = -119495.687555167
x45=151211.752619206x_{45} = 151211.752619206
x46=−186690.839137426x_{46} = -186690.839137426
x47=−182134.217019303x_{47} = -182134.217019303
x48=60530.5675385972x_{48} = 60530.5675385972
x49=−97770.4919774704x_{49} = -97770.4919774704
x50=−137147.843704624x_{50} = -137147.843704624
x51=72955.2642876424x_{51} = 72955.2642876424
x52=196535.300613528x_{52} = 196535.300613528
x53=107076.747620113x_{53} = 107076.747620113
x54=−191256.918749677x_{54} = -191256.918749677
x55=−115118.52091079x_{55} = -115118.52091079
x56=−68150.4777442292x_{56} = -68150.4777442292
x57=173745.993878637x_{57} = 173745.993878637
x58=111424.967942615x_{58} = 111424.967942615
x59=128971.447821476x_{59} = 128971.447821476
x60=−110756.78443908x_{60} = -110756.78443908
x61=81362.4971006734x_{61} = 81362.4971006734
x62=−128294.077526429x_{62} = -128294.077526429
x63=64645.3242495839x_{63} = 64645.3242495839
x64=77147.3877834874x_{64} = 77147.3877834874
x65=85599.4150271294x_{65} = 85599.4150271294
x66=−89202.6451737277x_{66} = -89202.6451737277
x67=−132714.274867548x_{67} = -132714.274867548
x68=133393.743964823x_{68} = 133393.743964823
x69=124562.914068797x_{69} = 124562.914068797
x70=178284.522301674x_{70} = 178284.522301674
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=−4.41421356237309x_{1} = -4.41421356237309
x2=−1.5857864376269x_{2} = -1.5857864376269

lim⁡x→−4.41421356237309−(2(2(x+3)2x2+6x+8+4(x+3)2(x2+6x+8)log⁡(x2+6x+8)−1)log⁡(2)(x2+6x+8)log⁡(x2+6x+8)2)=∞\lim_{x \to -4.41421356237309^-}\left(\frac{2 \left(\frac{2 \left(x + 3\right)^{2}}{x^{2} + 6 x + 8} + \frac{4 \left(x + 3\right)^{2}}{\left(x^{2} + 6 x + 8\right) \log{\left(x^{2} + 6 x + 8 \right)}} - 1\right) \log{\left(2 \right)}}{\left(x^{2} + 6 x + 8\right) \log{\left(x^{2} + 6 x + 8 \right)}^{2}}\right) = \infty
lim⁡x→−4.41421356237309+(2(2(x+3)2x2+6x+8+4(x+3)2(x2+6x+8)log⁡(x2+6x+8)−1)log⁡(2)(x2+6x+8)log⁡(x2+6x+8)2)=−∞\lim_{x \to -4.41421356237309^+}\left(\frac{2 \left(\frac{2 \left(x + 3\right)^{2}}{x^{2} + 6 x + 8} + \frac{4 \left(x + 3\right)^{2}}{\left(x^{2} + 6 x + 8\right) \log{\left(x^{2} + 6 x + 8 \right)}} - 1\right) \log{\left(2 \right)}}{\left(x^{2} + 6 x + 8\right) \log{\left(x^{2} + 6 x + 8 \right)}^{2}}\right) = -\infty
- los límites no son iguales, signo
x1=−4.41421356237309x_{1} = -4.41421356237309
- es el punto de flexión
lim⁡x→−1.5857864376269−(2(2(x+3)2x2+6x+8+4(x+3)2(x2+6x+8)log⁡(x2+6x+8)−1)log⁡(2)(x2+6x+8)log⁡(x2+6x+8)2)=2.28359630832954⋅1046log⁡(2)\lim_{x \to -1.5857864376269^-}\left(\frac{2 \left(\frac{2 \left(x + 3\right)^{2}}{x^{2} + 6 x + 8} + \frac{4 \left(x + 3\right)^{2}}{\left(x^{2} + 6 x + 8\right) \log{\left(x^{2} + 6 x + 8 \right)}} - 1\right) \log{\left(2 \right)}}{\left(x^{2} + 6 x + 8\right) \log{\left(x^{2} + 6 x + 8 \right)}^{2}}\right) = 2.28359630832954 \cdot 10^{46} \log{\left(2 \right)}
lim⁡x→−1.5857864376269+(2(2(x+3)2x2+6x+8+4(x+3)2(x2+6x+8)log⁡(x2+6x+8)−1)log⁡(2)(x2+6x+8)log⁡(x2+6x+8)2)=2.28359630832954⋅1046log⁡(2)\lim_{x \to -1.5857864376269^+}\left(\frac{2 \left(\frac{2 \left(x + 3\right)^{2}}{x^{2} + 6 x + 8} + \frac{4 \left(x + 3\right)^{2}}{\left(x^{2} + 6 x + 8\right) \log{\left(x^{2} + 6 x + 8 \right)}} - 1\right) \log{\left(2 \right)}}{\left(x^{2} + 6 x + 8\right) \log{\left(x^{2} + 6 x + 8 \right)}^{2}}\right) = 2.28359630832954 \cdot 10^{46} \log{\left(2 \right)}
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−4.41421356237309x_{1} = -4.41421356237309
x2=−1.5857864376269x_{2} = -1.5857864376269
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡(2)log⁡((x2+6x)+8))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(2 \right)}}{\log{\left(\left(x^{2} + 6 x\right) + 8 \right)}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(log⁡(2)log⁡((x2+6x)+8))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(2 \right)}}{\log{\left(\left(x^{2} + 6 x\right) + 8 \right)}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(2)/log(x^2 + 6*x + 8), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡(2)xlog⁡((x2+6x)+8))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(2 \right)}}{x \log{\left(\left(x^{2} + 6 x\right) + 8 \right)}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(log⁡(2)xlog⁡((x2+6x)+8))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(2 \right)}}{x \log{\left(\left(x^{2} + 6 x\right) + 8 \right)}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
log⁡(2)log⁡((x2+6x)+8)=log⁡(2)log⁡(x2−6x+8)\frac{\log{\left(2 \right)}}{\log{\left(\left(x^{2} + 6 x\right) + 8 \right)}} = \frac{\log{\left(2 \right)}}{\log{\left(x^{2} - 6 x + 8 \right)}}
- No
log⁡(2)log⁡((x2+6x)+8)=−log⁡(2)log⁡(x2−6x+8)\frac{\log{\left(2 \right)}}{\log{\left(\left(x^{2} + 6 x\right) + 8 \right)}} = - \frac{\log{\left(2 \right)}}{\log{\left(x^{2} - 6 x + 8 \right)}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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