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Trazado el gráfico de la función/ 2sin(x/2+pi/2)+4

Gráfico de la función y = 2sin(x/2+pi/2)+4

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
            /x   pi\    
f(x) = 2*sin|- + --| + 4
            \2   2 /
f(x)=2sin⁡(x2+π2)+4f{\left(x \right)} = 2 \sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{2} \right)} + 4 
f = 2*sin(x/2 + pi/2) + 4
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010010
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
2sin⁡(x2+π2)+4=02 \sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{2} \right)} + 4 = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 2*sin(x/2 + pi/2) + 4.
2sin⁡(02+π2)+42 \sin{\left(\frac{0}{2} + \frac{\pi}{2} \right)} + 4
Resultado:
f(0)=6f{\left(0 \right)} = 6
Punto:
(0, 6)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
cos⁡(x2+π2)=0\cos{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{2} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=2πx_{2} = 2 \pi
Signos de extremos en los puntos:
(0, 6)

(2*pi, 2)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=2πx_{1} = 2 \pi
Puntos máximos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Decrece en los intervalos
(−∞,0]∪[2π,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[2 \pi, \infty\right)
Crece en los intervalos
[0,2π]\left[0, 2 \pi\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−sin⁡(x+π2)2=0- \frac{\sin{\left(\frac{x + \pi}{2} \right)}}{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=πx_{1} = \pi
x2=3πx_{2} = 3 \pi

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[π,3π]\left[\pi, 3 \pi\right]
Convexa en los intervalos
(−∞,π]∪[3π,∞)\left(-\infty, \pi\right] \cup \left[3 \pi, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(2sin⁡(x2+π2)+4)=⟨2,6⟩\lim_{x \to -\infty}\left(2 \sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{2} \right)} + 4\right) = \left\langle 2, 6\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨2,6⟩y = \left\langle 2, 6\right\rangle
lim⁡x→∞(2sin⁡(x2+π2)+4)=⟨2,6⟩\lim_{x \to \infty}\left(2 \sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{2} \right)} + 4\right) = \left\langle 2, 6\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨2,6⟩y = \left\langle 2, 6\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 2*sin(x/2 + pi/2) + 4, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(2sin⁡(x2+π2)+4x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 \sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{2} \right)} + 4}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(2sin⁡(x2+π2)+4x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 \sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{2} \right)} + 4}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
2sin⁡(x2+π2)+4=4−2sin⁡(x2−π2)2 \sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{2} \right)} + 4 = 4 - 2 \sin{\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{2} \right)}
- No
2sin⁡(x2+π2)+4=2sin⁡(x2−π2)−42 \sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{2} \right)} + 4 = 2 \sin{\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{2} \right)} - 4
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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