Sr Examen

Gráfico de la función y = abs(x*0.5ln(x))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
       |x       |
f(x) = |-*log(x)|
       |2       |
$$f{\left(x \right)} = \left|{\frac{x}{2} \log{\left(x \right)}}\right|$$
f = Abs((x/2)*log(x))
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left|{\frac{x}{2} \log{\left(x \right)}}\right| = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
$$x_{1} = 1$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en Abs((x/2)*log(x)).
$$\left|{\frac{0}{2} \log{\left(0 \right)}}\right|$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = \text{NaN}$$
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{2 \left(\frac{x \left(\frac{\log{\left(\frac{x}{\operatorname{sign}{\left(x \right)}} \right)}}{2} + \frac{\operatorname{sign}^{2}{\left(x \right)}}{2}\right) \log{\left(\frac{x}{\operatorname{sign}{\left(x \right)}} \right)}}{2} + \frac{x \arg^{2}{\left(x \right)}}{4}\right) \operatorname{sign}{\left(x \right)} \operatorname{sign}{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x \log{\left(x \right)}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0.367879441171442$$
Signos de extremos en los puntos:
(0.36787944117144233, 0.183939720585721)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 0.367879441171442$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, 0.367879441171442\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[0.367879441171442, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{\left(\left(\log{\left(\frac{x}{\operatorname{sign}{\left(x \right)}} \right)} + \operatorname{sign}^{2}{\left(x \right)}\right) \log{\left(\frac{x}{\operatorname{sign}{\left(x \right)}} \right)} + \arg^{2}{\left(x \right)}\right) \delta\left(x\right) \operatorname{sign}{\left(\log{\left(x \right)} \right)} + \frac{\left(\left(\log{\left(\frac{x}{\operatorname{sign}{\left(x \right)}} \right)} + \operatorname{sign}^{2}{\left(x \right)}\right) \log{\left(\frac{x}{\operatorname{sign}{\left(x \right)}} \right)} + \arg^{2}{\left(x \right)}\right) \operatorname{sign}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{sign}{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{2} - \frac{\left(\left(\log{\left(\frac{x}{\operatorname{sign}{\left(x \right)}} \right)} + \operatorname{sign}^{2}{\left(x \right)}\right) \log{\left(\frac{x}{\operatorname{sign}{\left(x \right)}} \right)} + \arg^{2}{\left(x \right)}\right) \operatorname{sign}{\left(x \right)} \operatorname{sign}{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{2 x} - \frac{\left(\left(\log{\left(\frac{x}{\operatorname{sign}{\left(x \right)}} \right)} + \operatorname{sign}^{2}{\left(x \right)}\right) \log{\left(\frac{x}{\operatorname{sign}{\left(x \right)}} \right)} + \arg^{2}{\left(x \right)}\right) \operatorname{sign}{\left(x \right)} \operatorname{sign}{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{2 x \log{\left(x \right)}} + \frac{\left(x \left(4 \delta\left(x\right) \operatorname{sign}{\left(x \right)} - \frac{\frac{2 x \delta\left(x\right)}{\operatorname{sign}{\left(x \right)}} - 1}{x}\right) \log{\left(\frac{x}{\operatorname{sign}{\left(x \right)}} \right)} - \left(\frac{2 x \delta\left(x\right)}{\operatorname{sign}{\left(x \right)}} - 1\right) \left(\log{\left(\frac{x}{\operatorname{sign}{\left(x \right)}} \right)} + \operatorname{sign}^{2}{\left(x \right)}\right) + \left(\log{\left(\frac{x}{\operatorname{sign}{\left(x \right)}} \right)} + \operatorname{sign}^{2}{\left(x \right)}\right) \log{\left(\frac{x}{\operatorname{sign}{\left(x \right)}} \right)} + \arg^{2}{\left(x \right)}\right) \operatorname{sign}{\left(x \right)} \operatorname{sign}{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{2 x}}{\log{\left(x \right)}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \left|{\frac{x}{2} \log{\left(x \right)}}\right| = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty} \left|{\frac{x}{2} \log{\left(x \right)}}\right| = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función Abs((x/2)*log(x)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left|{\frac{x}{2} \log{\left(x \right)}}\right|}{x}\right)$$
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left|{\frac{x}{2} \log{\left(x \right)}}\right|}{x}\right)$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\left|{\frac{x}{2} \log{\left(x \right)}}\right| = \frac{\left|{x \log{\left(- x \right)}}\right|}{2}$$
- No
$$\left|{\frac{x}{2} \log{\left(x \right)}}\right| = - \frac{\left|{x \log{\left(- x \right)}}\right|}{2}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar