Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ abs(x*0.5ln(x))

Gráfico de la función y = abs(x*0.5ln(x))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       |x       |
f(x) = |-*log(x)|
       |2       |
f(x)=∣x2log⁡(x)∣f{\left(x \right)} = \left|{\frac{x}{2} \log{\left(x \right)}}\right| 
f = Abs((x/2)*log(x))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010020
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
∣x2log⁡(x)∣=0\left|{\frac{x}{2} \log{\left(x \right)}}\right| = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=1x_{1} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en Abs((x/2)*log(x)).
∣02log⁡(0)∣\left|{\frac{0}{2} \log{\left(0 \right)}}\right|
Resultado:
f(0)=NaNf{\left(0 \right)} = \text{NaN}
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2(x(log⁡(xsign⁡(x))2+sign⁡2(x)2)log⁡(xsign⁡(x))2+xarg⁡2(x)4)sign⁡(x)sign⁡(log⁡(x))xlog⁡(x)=0\frac{2 \left(\frac{x \left(\frac{\log{\left(\frac{x}{\operatorname{sign}{\left(x \right)}} \right)}}{2} + \frac{\operatorname{sign}^{2}{\left(x \right)}}{2}\right) \log{\left(\frac{x}{\operatorname{sign}{\left(x \right)}} \right)}}{2} + \frac{x \arg^{2}{\left(x \right)}}{4}\right) \operatorname{sign}{\left(x \right)} \operatorname{sign}{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x \log{\left(x \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0.367879441171442x_{1} = 0.367879441171442
Signos de extremos en los puntos:
(0.36787944117144233, 0.183939720585721)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=0.367879441171442x_{1} = 0.367879441171442
Decrece en los intervalos
(−∞,0.367879441171442]\left(-\infty, 0.367879441171442\right]
Crece en los intervalos
[0.367879441171442,∞)\left[0.367879441171442, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
((log⁡(xsign⁡(x))+sign⁡2(x))log⁡(xsign⁡(x))+arg⁡2(x))δ(x)sign⁡(log⁡(x))+((log⁡(xsign⁡(x))+sign⁡2(x))log⁡(xsign⁡(x))+arg⁡2(x))sign⁡(x)ddxsign⁡(log⁡(x))2−((log⁡(xsign⁡(x))+sign⁡2(x))log⁡(xsign⁡(x))+arg⁡2(x))sign⁡(x)sign⁡(log⁡(x))2x−((log⁡(xsign⁡(x))+sign⁡2(x))log⁡(xsign⁡(x))+arg⁡2(x))sign⁡(x)sign⁡(log⁡(x))2xlog⁡(x)+(x(4δ(x)sign⁡(x)−2xδ(x)sign⁡(x)−1x)log⁡(xsign⁡(x))−(2xδ(x)sign⁡(x)−1)(log⁡(xsign⁡(x))+sign⁡2(x))+(log⁡(xsign⁡(x))+sign⁡2(x))log⁡(xsign⁡(x))+arg⁡2(x))sign⁡(x)sign⁡(log⁡(x))2xlog⁡(x)=0\frac{\left(\left(\log{\left(\frac{x}{\operatorname{sign}{\left(x \right)}} \right)} + \operatorname{sign}^{2}{\left(x \right)}\right) \log{\left(\frac{x}{\operatorname{sign}{\left(x \right)}} \right)} + \arg^{2}{\left(x \right)}\right) \delta\left(x\right) \operatorname{sign}{\left(\log{\left(x \right)} \right)} + \frac{\left(\left(\log{\left(\frac{x}{\operatorname{sign}{\left(x \right)}} \right)} + \operatorname{sign}^{2}{\left(x \right)}\right) \log{\left(\frac{x}{\operatorname{sign}{\left(x \right)}} \right)} + \arg^{2}{\left(x \right)}\right) \operatorname{sign}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{sign}{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{2} - \frac{\left(\left(\log{\left(\frac{x}{\operatorname{sign}{\left(x \right)}} \right)} + \operatorname{sign}^{2}{\left(x \right)}\right) \log{\left(\frac{x}{\operatorname{sign}{\left(x \right)}} \right)} + \arg^{2}{\left(x \right)}\right) \operatorname{sign}{\left(x \right)} \operatorname{sign}{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{2 x} - \frac{\left(\left(\log{\left(\frac{x}{\operatorname{sign}{\left(x \right)}} \right)} + \operatorname{sign}^{2}{\left(x \right)}\right) \log{\left(\frac{x}{\operatorname{sign}{\left(x \right)}} \right)} + \arg^{2}{\left(x \right)}\right) \operatorname{sign}{\left(x \right)} \operatorname{sign}{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{2 x \log{\left(x \right)}} + \frac{\left(x \left(4 \delta\left(x\right) \operatorname{sign}{\left(x \right)} - \frac{\frac{2 x \delta\left(x\right)}{\operatorname{sign}{\left(x \right)}} - 1}{x}\right) \log{\left(\frac{x}{\operatorname{sign}{\left(x \right)}} \right)} - \left(\frac{2 x \delta\left(x\right)}{\operatorname{sign}{\left(x \right)}} - 1\right) \left(\log{\left(\frac{x}{\operatorname{sign}{\left(x \right)}} \right)} + \operatorname{sign}^{2}{\left(x \right)}\right) + \left(\log{\left(\frac{x}{\operatorname{sign}{\left(x \right)}} \right)} + \operatorname{sign}^{2}{\left(x \right)}\right) \log{\left(\frac{x}{\operatorname{sign}{\left(x \right)}} \right)} + \arg^{2}{\left(x \right)}\right) \operatorname{sign}{\left(x \right)} \operatorname{sign}{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{2 x}}{\log{\left(x \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞∣x2log⁡(x)∣=∞\lim_{x \to -\infty} \left|{\frac{x}{2} \log{\left(x \right)}}\right| = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞∣x2log⁡(x)∣=∞\lim_{x \to \infty} \left|{\frac{x}{2} \log{\left(x \right)}}\right| = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función Abs((x/2)*log(x)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xlim⁡x→−∞(∣x2log⁡(x)∣x)y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left|{\frac{x}{2} \log{\left(x \right)}}\right|}{x}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xlim⁡x→∞(∣x2log⁡(x)∣x)y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left|{\frac{x}{2} \log{\left(x \right)}}\right|}{x}\right)
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
∣x2log⁡(x)∣=∣xlog⁡(−x)∣2\left|{\frac{x}{2} \log{\left(x \right)}}\right| = \frac{\left|{x \log{\left(- x \right)}}\right|}{2}
- No
∣x2log⁡(x)∣=−∣xlog⁡(−x)∣2\left|{\frac{x}{2} \log{\left(x \right)}}\right| = - \frac{\left|{x \log{\left(- x \right)}}\right|}{2}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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