Sr Examen

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е^-x/(2x-3)
Trazado el gráfico de la función/ е^-x/(2x-3)

Gráfico de la función y = е^-x/(2x-3)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          -x  
         E    
f(x) = -------
       2*x - 3
f(x)=e−x2x−3f{\left(x \right)} = \frac{e^{- x}}{2 x - 3} 
f = E^(-x)/(2*x - 3)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-10001000
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=1.5x_{1} = 1.5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
e−x2x−3=0\frac{e^{- x}}{2 x - 3} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en E^(-x)/(2*x - 3).
e−0−3+0⋅2\frac{e^{- 0}}{-3 + 0 \cdot 2}
Resultado:
f(0)=−13f{\left(0 \right)} = - \frac{1}{3}
Punto:
(0, -1/3)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−e−x2x−3−2e−x(2x−3)2=0- \frac{e^{- x}}{2 x - 3} - \frac{2 e^{- x}}{\left(2 x - 3\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=12x_{1} = \frac{1}{2}
Signos de extremos en los puntos:
        -1/2  
      -e      
(1/2, -------)
         2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=12x_{1} = \frac{1}{2}
Decrece en los intervalos
(−∞,12]\left(-\infty, \frac{1}{2}\right]
Crece en los intervalos
[12,∞)\left[\frac{1}{2}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(1+42x−3+8(2x−3)2)e−x2x−3=0\frac{\left(1 + \frac{4}{2 x - 3} + \frac{8}{\left(2 x - 3\right)^{2}}\right) e^{- x}}{2 x - 3} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=1.5x_{1} = 1.5
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(e−x2x−3)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{- x}}{2 x - 3}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(e−x2x−3)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{- x}}{2 x - 3}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función E^(-x)/(2*x - 3), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(e−xx(2x−3))=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{- x}}{x \left(2 x - 3\right)}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞(e−xx(2x−3))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{- x}}{x \left(2 x - 3\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
e−x2x−3=ex−2x−3\frac{e^{- x}}{2 x - 3} = \frac{e^{x}}{- 2 x - 3}
- No
e−x2x−3=−ex−2x−3\frac{e^{- x}}{2 x - 3} = - \frac{e^{x}}{- 2 x - 3}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = е^-x/(2x-3)
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