Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ (x-1)(x+2)(x-3)

Gráfico de la función y = (x-1)(x+2)(x-3)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

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Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = (x - 1)*(x + 2)*(x - 3)
f(x)=(x−1)(x+2)(x−3)f{\left(x \right)} = \left(x - 1\right) \left(x + 2\right) \left(x - 3\right) 
f = ((x - 1)*(x + 2))*(x - 3)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-20002000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(x−1)(x+2)(x−3)=0\left(x - 1\right) \left(x + 2\right) \left(x - 3\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−2x_{1} = -2
x2=1x_{2} = 1
x3=3x_{3} = 3
Solución numérica
x1=1x_{1} = 1
x2=−2x_{2} = -2
x3=3x_{3} = 3
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en ((x - 1)*(x + 2))*(x - 3).
(−3)(−2)\left(-3\right) \left(- 2\right)
Resultado:
f(0)=6f{\left(0 \right)} = 6
Punto:
(0, 6)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(x−3)(2x+1)+(x−1)(x+2)=0\left(x - 3\right) \left(2 x + 1\right) + \left(x - 1\right) \left(x + 2\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=23−193x_{1} = \frac{2}{3} - \frac{\sqrt{19}}{3}
x2=23+193x_{2} = \frac{2}{3} + \frac{\sqrt{19}}{3}
Signos de extremos en los puntos:
       ____  /        ____\ /        ____\ /      ____\ 
 2   \/ 19   |  7   \/ 19 | |  1   \/ 19 | |8   \/ 19 | 
(- - ------, |- - - ------|*|- - - ------|*|- - ------|)
 3     3     \  3     3   / \  3     3   / \3     3   / 

       ____  /        ____\ /        ____\ /      ____\ 
 2   \/ 19   |  7   \/ 19 | |  1   \/ 19 | |8   \/ 19 | 
(- + ------, |- - + ------|*|- - + ------|*|- + ------|)
 3     3     \  3     3   / \  3     3   / \3     3   /


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=23+193x_{1} = \frac{2}{3} + \frac{\sqrt{19}}{3}
Puntos máximos de la función:
x1=23−193x_{1} = \frac{2}{3} - \frac{\sqrt{19}}{3}
Decrece en los intervalos
(−∞,23−193]∪[23+193,∞)\left(-\infty, \frac{2}{3} - \frac{\sqrt{19}}{3}\right] \cup \left[\frac{2}{3} + \frac{\sqrt{19}}{3}, \infty\right)
Crece en los intervalos
[23−193,23+193]\left[\frac{2}{3} - \frac{\sqrt{19}}{3}, \frac{2}{3} + \frac{\sqrt{19}}{3}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(3x−2)=02 \left(3 x - 2\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=23x_{1} = \frac{2}{3}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[23,∞)\left[\frac{2}{3}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,23]\left(-\infty, \frac{2}{3}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((x−1)(x+2)(x−3))=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x - 1\right) \left(x + 2\right) \left(x - 3\right)\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((x−1)(x+2)(x−3))=∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(x - 1\right) \left(x + 2\right) \left(x - 3\right)\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función ((x - 1)*(x + 2))*(x - 3), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((x−3)(x−1)(x+2)x)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right) \left(x + 2\right)}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞((x−3)(x−1)(x+2)x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right) \left(x + 2\right)}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(x−1)(x+2)(x−3)=(2−x)(−x−3)(−x−1)\left(x - 1\right) \left(x + 2\right) \left(x - 3\right) = \left(2 - x\right) \left(- x - 3\right) \left(- x - 1\right)
- No
(x−1)(x+2)(x−3)=−(2−x)(−x−3)(−x−1)\left(x - 1\right) \left(x + 2\right) \left(x - 3\right) = - \left(2 - x\right) \left(- x - 3\right) \left(- x - 1\right)
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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