Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ x^8*log(x)

Gráfico de la función y = x^8*log(x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        8       
f(x) = x *log(x)
f(x)=x8log⁡(x)f{\left(x \right)} = x^{8} \log{\left(x \right)} 
f = x^8*log(x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-250000000250000000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x8log⁡(x)=0x^{8} \log{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=1x_{1} = 1
Solución numérica
x1=1x_{1} = 1
x2=1x_{2} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x^8*log(x).
08log⁡(0)0^{8} \log{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=NaNf{\left(0 \right)} = \text{NaN}
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
8x7log⁡(x)+x7=08 x^{7} \log{\left(x \right)} + x^{7} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=e−18x_{1} = e^{- \frac{1}{8}}
Signos de extremos en los puntos:
          -1  
  -1/8  -e    
(e   , -----)
          8


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=e−18x_{1} = e^{- \frac{1}{8}}
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[e−18,∞)\left[e^{- \frac{1}{8}}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,e−18]\left(-\infty, e^{- \frac{1}{8}}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
x6(56log⁡(x)+15)=0x^{6} \left(56 \log{\left(x \right)} + 15\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=e−1556x_{1} = e^{- \frac{15}{56}}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[e−1556,∞)\left[e^{- \frac{15}{56}}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,e−1556]\left(-\infty, e^{- \frac{15}{56}}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x8log⁡(x))=∞\lim_{x \to -\infty}\left(x^{8} \log{\left(x \right)}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(x8log⁡(x))=∞\lim_{x \to \infty}\left(x^{8} \log{\left(x \right)}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^8*log(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(x7log⁡(x))=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(x^{7} \log{\left(x \right)}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞(x7log⁡(x))=∞\lim_{x \to \infty}\left(x^{7} \log{\left(x \right)}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x8log⁡(x)=x8log⁡(−x)x^{8} \log{\left(x \right)} = x^{8} \log{\left(- x \right)}
- No
x8log⁡(x)=−x8log⁡(−x)x^{8} \log{\left(x \right)} = - x^{8} \log{\left(- x \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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