Sr Examen

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y=x(x-3)(x+5)
Trazado el gráfico de la función/ y=x(x-3)(x+5)

Gráfico de la función y = y=x(x-3)(x+5)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

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Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = x*(x - 3)*(x + 5)
f(x)=x(x−3)(x+5)f{\left(x \right)} = x \left(x - 3\right) \left(x + 5\right) 
f = (x*(x - 3))*(x + 5)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-20002000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x(x−3)(x+5)=0x \left(x - 3\right) \left(x + 5\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−5x_{1} = -5
x2=0x_{2} = 0
x3=3x_{3} = 3
Solución numérica
x1=−5x_{1} = -5
x2=3x_{2} = 3
x3=0x_{3} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x*(x - 3))*(x + 5).
5(−3)05 \left(-3\right) 0
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
x(x−3)+(x+5)(2x−3)=0x \left(x - 3\right) + \left(x + 5\right) \left(2 x - 3\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−3x_{1} = -3
x2=53x_{2} = \frac{5}{3}
Signos de extremos en los puntos:
(-3, 36)

      -400  
(5/3, -----)
        27


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=53x_{1} = \frac{5}{3}
Puntos máximos de la función:
x1=−3x_{1} = -3
Decrece en los intervalos
(−∞,−3]∪[53,∞)\left(-\infty, -3\right] \cup \left[\frac{5}{3}, \infty\right)
Crece en los intervalos
[−3,53]\left[-3, \frac{5}{3}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(3x+2)=02 \left(3 x + 2\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−23x_{1} = - \frac{2}{3}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−23,∞)\left[- \frac{2}{3}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−23]\left(-\infty, - \frac{2}{3}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x(x−3)(x+5))=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(x \left(x - 3\right) \left(x + 5\right)\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(x(x−3)(x+5))=∞\lim_{x \to \infty}\left(x \left(x - 3\right) \left(x + 5\right)\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x*(x - 3))*(x + 5), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((x−3)(x+5))=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x - 3\right) \left(x + 5\right)\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞((x−3)(x+5))=∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(x - 3\right) \left(x + 5\right)\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x(x−3)(x+5)=−x(5−x)(−x−3)x \left(x - 3\right) \left(x + 5\right) = - x \left(5 - x\right) \left(- x - 3\right)
- No
x(x−3)(x+5)=x(5−x)(−x−3)x \left(x - 3\right) \left(x + 5\right) = x \left(5 - x\right) \left(- x - 3\right)
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = y=x(x-3)(x+5)
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