Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ (log(x))/(log(x-3))

Gráfico de la función y = (log(x))/(log(x-3))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
         log(x)  
f(x) = ----------
       log(x - 3)
f(x)=log⁡(x)log⁡(x−3)f{\left(x \right)} = \frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(x - 3 \right)}} 
f = log(x)/log(x - 3)
Gráfico de la función
0123456789151011121314-100005000
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=4x_{1} = 4
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
log⁡(x)log⁡(x−3)=0\frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(x - 3 \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=1x_{1} = 1
Solución numérica
x1=1x_{1} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log(x)/log(x - 3).
log⁡(0)log⁡(−3)\frac{\log{\left(0 \right)}}{\log{\left(-3 \right)}}
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−log⁡(x)(x−3)log⁡(x−3)2+1xlog⁡(x−3)=0- \frac{\log{\left(x \right)}}{\left(x - 3\right) \log{\left(x - 3 \right)}^{2}} + \frac{1}{x \log{\left(x - 3 \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(1+2log⁡(x−3))log⁡(x)(x−3)2log⁡(x−3)−2x(x−3)log⁡(x−3)−1x2log⁡(x−3)=0\frac{\frac{\left(1 + \frac{2}{\log{\left(x - 3 \right)}}\right) \log{\left(x \right)}}{\left(x - 3\right)^{2} \log{\left(x - 3 \right)}} - \frac{2}{x \left(x - 3\right) \log{\left(x - 3 \right)}} - \frac{1}{x^{2}}}{\log{\left(x - 3 \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=29092.3793698505x_{1} = 29092.3793698505
x2=22478.8269890019x_{2} = 22478.8269890019
x3=17232.7496265109x_{3} = 17232.7496265109
x4=23137.6512293001x_{4} = 23137.6512293001
x5=9472.82499388425x_{5} = 9472.82499388425
x6=19850.0196519154x_{6} = 19850.0196519154
x7=28428.6795170842x_{7} = 28428.6795170842
x8=15278.4961480115x_{8} = 15278.4961480115
x9=10754.2492702545x_{9} = 10754.2492702545
x10=27102.7423370112x_{10} = 27102.7423370112
x11=12686.3888212049x_{11} = 12686.3888212049
x12=12041.10583426x_{12} = 12041.10583426
x13=24457.1044346087x_{13} = 24457.1044346087
x14=15929.0161783672x_{14} = 15929.0161783672
x15=19194.5545914475x_{15} = 19194.5545914475
x16=8834.36068835714x_{16} = 8834.36068835714
x17=23797.0832448936x_{17} = 23797.0832448936
x18=16580.4466160147x_{18} = 16580.4466160147
x19=14628.9273475505x_{19} = 14628.9273475505
x20=30421.1797514712x_{20} = 30421.1797514712
x21=10112.8180241462x_{21} = 10112.8180241462
x22=11397.0367067285x_{22} = 11397.0367067285
x23=21163.0817373778x_{23} = 21163.0817373778
x24=26440.5315727178x_{24} = 26440.5315727178
x25=18539.8352255902x_{25} = 18539.8352255902
x26=13332.8237448251x_{26} = 13332.8237448251
x27=20506.2037125583x_{27} = 20506.2037125583
x28=25117.6971957888x_{28} = 25117.6971957888
x29=17885.8900670147x_{29} = 17885.8900670147
x30=21820.6302064839x_{30} = 21820.6302064839
x31=25778.8448494852x_{31} = 25778.8448494852
x32=31086.2572000917x_{32} = 31086.2572000917
x33=27765.462852512x_{33} = 27765.462852512
x34=29756.550048717x_{34} = 29756.550048717
x35=13980.3539259157x_{35} = 13980.3539259157
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=4x_{1} = 4

lim⁡x→4−((1+2log⁡(x−3))log⁡(x)(x−3)2log⁡(x−3)−2x(x−3)log⁡(x−3)−1x2log⁡(x−3))=−∞\lim_{x \to 4^-}\left(\frac{\frac{\left(1 + \frac{2}{\log{\left(x - 3 \right)}}\right) \log{\left(x \right)}}{\left(x - 3\right)^{2} \log{\left(x - 3 \right)}} - \frac{2}{x \left(x - 3\right) \log{\left(x - 3 \right)}} - \frac{1}{x^{2}}}{\log{\left(x - 3 \right)}}\right) = -\infty
lim⁡x→4+((1+2log⁡(x−3))log⁡(x)(x−3)2log⁡(x−3)−2x(x−3)log⁡(x−3)−1x2log⁡(x−3))=∞\lim_{x \to 4^+}\left(\frac{\frac{\left(1 + \frac{2}{\log{\left(x - 3 \right)}}\right) \log{\left(x \right)}}{\left(x - 3\right)^{2} \log{\left(x - 3 \right)}} - \frac{2}{x \left(x - 3\right) \log{\left(x - 3 \right)}} - \frac{1}{x^{2}}}{\log{\left(x - 3 \right)}}\right) = \infty
- los límites no son iguales, signo
x1=4x_{1} = 4
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
Asíntotas verticales
Hay:
x1=4x_{1} = 4
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡(x)log⁡(x−3))=1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(x - 3 \right)}}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=1y = 1
lim⁡x→∞(log⁡(x)log⁡(x−3))=1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(x - 3 \right)}}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=1y = 1
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(x)/log(x - 3), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡(x)xlog⁡(x−3))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x \log{\left(x - 3 \right)}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(log⁡(x)xlog⁡(x−3))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x \log{\left(x - 3 \right)}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
log⁡(x)log⁡(x−3)=log⁡(−x)log⁡(−x−3)\frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(x - 3 \right)}} = \frac{\log{\left(- x \right)}}{\log{\left(- x - 3 \right)}}
- No
log⁡(x)log⁡(x−3)=−log⁡(−x)log⁡(−x−3)\frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(x - 3 \right)}} = - \frac{\log{\left(- x \right)}}{\log{\left(- x - 3 \right)}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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