Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada$$\frac{2 x}{2 x + 3} - \frac{2 \left(x^{2} + 1\right)}{\left(2 x + 3\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{13}}{2} - \frac{3}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
/ 2\
| / ____\ |
____ | | 3 \/ 13 | |
____ \/ 13 *|1 + |- - + ------| |
3 \/ 13 \ \ 2 2 / /
(- - + ------, ----------------------------)
2 2 13
/ 2\
| / ____\ |
____ | | 3 \/ 13 | |
____ -\/ 13 *|1 + |- - - ------| |
3 \/ 13 \ \ 2 2 / /
(- - - ------, ------------------------------)
2 2 13
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{13}}{2} - \frac{3}{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{13}}{2} - \frac{3}{2}\right] \cup \left[- \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt{13}}{2} - \frac{3}{2}, - \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2}\right]$$