Sr Examen

Otras calculadoras

Trazado el gráfico de la función/ sin^2x+cosx^2/x

Gráfico de la función y = sin^2x+cosx^2/x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                    2   
          2      cos (x)
f(x) = sin (x) + -------
                    x
f(x)=sin⁡2(x)+cos⁡2(x)xf{\left(x \right)} = \sin^{2}{\left(x \right)} + \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{x} 
f = sin(x)^2 + cos(x)^2/x
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-5050
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
sin⁡2(x)+cos⁡2(x)x=0\sin^{2}{\left(x \right)} + \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=−28.0878399752299x_{1} = -28.0878399752299
x2=−119.471755535153x_{2} = -119.471755535153
x3=−50.12516597539x_{3} = -50.12516597539
x4=−69.2346463993905x_{4} = -69.2346463993905
x5=−2.5851914949241x_{5} = -2.5851914949241
x6=−44.131705930628x_{6} = -44.131705930628
x7=−9.73493799008764x_{7} = -9.73493799008764
x8=−62.7062350884338x_{8} = -62.7062350884338
x9=−18.6218418228335x_{9} = -18.6218418228335
x10=−84.9310879824578x_{10} = -84.9310879824578
x11=−47.268327310517x_{11} = -47.268327310517
x12=−3.62520495885929x_{12} = -3.62520495885929
x13=−72.1394333962009x_{13} = -72.1394333962009
x14=−40.685193547014x_{14} = -40.685193547014
x15=−21.7800660045184x_{15} = -21.7800660045184
x16=−40.9956349327589x_{16} = -40.9956349327589
x17=−19.0746424391654x_{17} = -19.0746424391654
x18=−53.5428961312863x_{18} = -53.5428961312863
x19=−31.5919987329922x_{19} = -31.5919987329922
x20=−100.431509196466x_{20} = -100.431509196466
x21=−37.860223815565x_{21} = -37.860223815565
x22=−91.2105142347456x_{22} = -91.2105142347456
x23=−43.8323866852833x_{23} = -43.8323866852833
x24=−97.49030706083x_{24} = -97.49030706083
x25=−56.680720559121x_{25} = -56.680720559121
x26=−56.4163094735059x_{26} = -56.4163094735059
x27=−12.2884849613746x_{27} = -12.2884849613746
x28=−212252.280691267x_{28} = -212252.280691267
x29=−62.9572230288176x_{29} = -62.9572230288176
x30=−87.85831004372x_{30} = -87.85831004372
x31=−65.8508330633513x_{31} = -65.8508330633513
x32=−59.818841862392x_{32} = -59.818841862392
x33=−75.5127970184206x_{33} = -75.5127970184206
x34=−81.7915338121391x_{34} = -81.7915338121391
x35=−5.89241261018129x_{35} = -5.89241261018129
x36=−78.4273738540463x_{36} = -78.4273738540463
x37=−34.3886170730788x_{37} = -34.3886170730788
x38=−25.3288838826042x_{38} = -25.3288838826042
x39=−84.714778479906x_{39} = -84.714778479906
x40=−15.9532861396732x_{40} = -15.9532861396732
x41=−94.1450795848085x_{41} = -94.1450795848085
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sin(x)^2 + cos(x)^2/x.
sin⁡2(0)+cos⁡2(0)0\sin^{2}{\left(0 \right)} + \frac{\cos^{2}{\left(0 \right)}}{0}
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2sin⁡(x)cos⁡(x)−2sin⁡(x)cos⁡(x)x−cos⁡2(x)x2=02 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - \frac{2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{x} - \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{x^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−π2x_{1} = - \frac{\pi}{2}
x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}
Signos de extremos en los puntos:
 -pi     
(----, 1)
  2      

 pi    
(--, 1)
 2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x2=−π2x_{2} = - \frac{\pi}{2}
x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}
Decrece en los intervalos
(−∞,−π2]\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right]
Crece en los intervalos
[π2,∞)\left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(−sin⁡2(x)+cos⁡2(x)+sin⁡2(x)x−cos⁡2(x)x+2sin⁡(x)cos⁡(x)x2+cos⁡2(x)x3)=02 \left(- \sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)} + \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{x} - \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{x} + \frac{2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{x^{2}} + \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{x^{3}}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=98.1748231018121x_{1} = 98.1748231018121
x2=74.6129159462597x_{2} = 74.6129159462597
x3=−35.3425225656426x_{3} = -35.3425225656426
x4=−40.0550060749993x_{4} = -40.0550060749993
x5=−32.2008497455043x_{5} = -32.2008497455043
x6=−11.7777902551183x_{6} = -11.7777902551183
x7=−71.4711370117135x_{7} = -71.4711370117135
x8=−49.4798861350585x_{8} = -49.4798861350585
x9=46.3387270601314x_{9} = 46.3387270601314
x10=62.0465858494662x_{10} = 62.0465858494662
x11=16.4953766419568x_{11} = 16.4953766419568
x12=886.714527112716x_{12} = 886.714527112716
x13=76.1837097163166x_{13} = 76.1837097163166
x14=−77.7543370485657x_{14} = -77.7543370485657
x15=−79.3251355377163x_{15} = -79.3251355377163
x16=49.4802906228188x_{16} = 49.4802906228188
x17=−98.1747188096946x_{17} = -98.1747188096946
x18=−91.8915262229128x_{18} = -91.8915262229128
x19=−38.484176676373x_{19} = -38.484176676373
x20=35.3433351021862x_{20} = 35.3433351021862
x21=24.3482044996812x_{21} = 24.3482044996812
x22=−57.3339151252179x_{22} = -57.3339151252179
x23=85.6084692436878x_{23} = 85.6084692436878
x24=8.64649825876728x_{24} = 8.64649825876728
x25=38.484861102782x_{25} = 38.484861102782
x26=−41.6258174775018x_{26} = -41.6258174775018
x27=88.7500570283684x_{27} = 88.7500570283684
x28=68.3297481010291x_{28} = 68.3297481010291
x29=−24.3465494392149x_{29} = -24.3465494392149
x30=−5.48498214421554x_{30} = -5.48498214421554
x31=40.0556219530264x_{31} = 40.0556219530264
x32=77.7545014175584x_{32} = 77.7545014175584
x33=−55.7631130536459x_{33} = -55.7631130536459
x34=63.6173777375122x_{34} = 63.6173777375122
x35=33.7725660791654x_{35} = 33.7725660791654
x36=−13.3490601683493x_{36} = -13.3490601683493
x37=47.9095127661744x_{37} = 47.9095127661744
x38=55.7634318632548x_{38} = 55.7634318632548
x39=−68.3295354413945x_{39} = -68.3295354413945
x40=2.45918841915183x_{40} = 2.45918841915183
x41=25.9189284492171x_{41} = 25.9189284492171
x42=−19.6336883606847x_{42} = -19.6336883606847
x43=−82.4667340759196x_{43} = -82.4667340759196
x44=−84.0375339339077x_{44} = -84.0375339339077
x45=−25.9174088327353x_{45} = -25.9174088327353
x46=41.6264018693934x_{46} = 41.6264018693934
x47=−33.7717015390395x_{47} = -33.7717015390395
x48=18.0657344963829x_{48} = 18.0657344963829
x49=−10.2055879004712x_{49} = -10.2055879004712
x50=−99.7455172442474x_{50} = -99.7455172442474
x51=−76.1835362590277x_{51} = -76.1835362590277
x52=−18.0627457306966x_{52} = -18.0627457306966
x53=−46.3382661602626x_{53} = -46.3382661602626
x54=32.2018300513449x_{54} = 32.2018300513449
x55=82.4668820312663x_{55} = 82.4668820312663
x56=−47.9090723548496x_{56} = -47.9090723548496
x57=54.1926483256621x_{57} = 54.1926483256621
x58=−74.6127374903741x_{58} = -74.6127374903741
x59=99.7456172612756x_{59} = 99.7456172612756
x60=19.6363550807047x_{60} = 19.6363550807047
x61=30.6310702547146x_{61} = 30.6310702547146
x62=96.6040279552001x_{62} = 96.6040279552001
x63=5.51596461512633x_{63} = 5.51596461512633
x64=−69.9003349318818x_{64} = -69.9003349318818
x65=91.8916453077865x_{65} = 91.8916453077865
x66=84.0376747079238x_{66} = 84.0376747079238
x67=79.3252954844258x_{67} = 79.3252954844258
x68=−16.4915753784413x_{68} = -16.4915753784413
x69=44.767953342127x_{69} = 44.767953342127
x70=10.2157438715929x_{70} = 10.2157438715929
x71=3.9740021610582x_{71} = 3.9740021610582
x72=−63.6171286468689x_{72} = -63.6171286468689
x73=27.4896098475515x_{73} = 27.4896098475515
x74=−60.4755229799467x_{74} = -60.4755229799467
x75=−90.3207285066268x_{75} = -90.3207285066268
x76=52.6218592626052x_{76} = 52.6218592626052
x77=90.3208504243698x_{77} = 90.3208504243698
x78=−54.1923045632751x_{78} = -54.1923045632751
x79=69.9005411014262x_{79} = 69.9005411014262
x80=−3.89726154493934x_{80} = -3.89726154493934
x81=−62.0463281195465x_{81} = -62.0463281195465
x82=60.4757987412468x_{82} = 60.4757987412468
x83=−27.4883088267804x_{83} = -27.4883088267804
x84=−2.30351813584042x_{84} = -2.30351813584042
x85=−85.608331980016x_{85} = -85.608331980016
x86=66.7589586368454x_{86} = 66.7589586368454
x87=−93.4623251135572x_{87} = -93.4623251135572
x88=11.7847382599734x_{88} = 11.7847382599734
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=0x_{1} = 0

lim⁡x→0−(2(−sin⁡2(x)+cos⁡2(x)+sin⁡2(x)x−cos⁡2(x)x+2sin⁡(x)cos⁡(x)x2+cos⁡2(x)x3))=−∞\lim_{x \to 0^-}\left(2 \left(- \sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)} + \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{x} - \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{x} + \frac{2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{x^{2}} + \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{x^{3}}\right)\right) = -\infty
lim⁡x→0+(2(−sin⁡2(x)+cos⁡2(x)+sin⁡2(x)x−cos⁡2(x)x+2sin⁡(x)cos⁡(x)x2+cos⁡2(x)x3))=∞\lim_{x \to 0^+}\left(2 \left(- \sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)} + \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{x} - \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{x} + \frac{2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{x^{2}} + \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{x^{3}}\right)\right) = \infty
- los límites no son iguales, signo
x1=0x_{1} = 0
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[99.7456172612756,∞)\left[99.7456172612756, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−98.1747188096946]\left(-\infty, -98.1747188096946\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡2(x)+cos⁡2(x)x)=⟨0,1⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{x}\right) = \left\langle 0, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨0,1⟩y = \left\langle 0, 1\right\rangle
lim⁡x→∞(sin⁡2(x)+cos⁡2(x)x)=⟨0,1⟩\lim_{x \to \infty}\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{x}\right) = \left\langle 0, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨0,1⟩y = \left\langle 0, 1\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(x)^2 + cos(x)^2/x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡2(x)+cos⁡2(x)xx)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{x}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(sin⁡2(x)+cos⁡2(x)xx)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{x}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
sin⁡2(x)+cos⁡2(x)x=sin⁡2(x)−cos⁡2(x)x\sin^{2}{\left(x \right)} + \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{x} = \sin^{2}{\left(x \right)} - \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{x}
- No
sin⁡2(x)+cos⁡2(x)x=−sin⁡2(x)+cos⁡2(x)x\sin^{2}{\left(x \right)} + \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{x} = - \sin^{2}{\left(x \right)} + \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
    © Sr Examen – Калькулятор