Sr Examen

Lang:

Gráfico de la función y = (|x+2|)/(x+2)-(2/x)

Ha introducido [src]

       |x + 2|   2
f(x) = ------- - -
        x + 2    x

f{\left(x \right)} = \frac{\left|{x + 2}\right|}{x + 2} - \frac{2}{x}

f = |x + 2|/(x + 2) - 2/x

Gráfico de la función

Dominio de definición de la función

Puntos en los que la función no está definida exactamente:

x_{1} = -2

x_{2} = 0

Puntos de cruce con el eje de coordenadas X

El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:

\frac{\left|{x + 2}\right|}{x + 2} - \frac{2}{x} = 0

Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica

x_{1} = 2

Solución numérica

x_{1} = 2

Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y

El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en |x + 2|/(x + 2) - 2/x.

- \frac{2}{0} + \frac{\left|{2}\right|}{2}

Resultado:

f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}

signof no cruza Y

Extremos de la función

Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación

\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0

(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:

\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =

\frac{\operatorname{sign}{\left(x + 2 \right)}}{x + 2} - \frac{\left|{x + 2}\right|}{\left(x + 2\right)^{2}} + \frac{2}{x^{2}} = 0

Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos

Asíntotas verticales

Hay:

x_{1} = -2

x_{2} = 0

Asíntotas horizontales

Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo

\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left|{x + 2}\right|}{x + 2} - \frac{2}{x}\right) = -1

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:

y = -1

\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left|{x + 2}\right|}{x + 2} - \frac{2}{x}\right) = 1

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:

y = 1

Asíntotas inclinadas

Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función |x + 2|/(x + 2) - 2/x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo

\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{\left|{x + 2}\right|}{x + 2} - \frac{2}{x}}{x}\right) = 0

Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha

\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{\left|{x + 2}\right|}{x + 2} - \frac{2}{x}}{x}\right) = 0

Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda

Paridad e imparidad de la función

Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:

\frac{\left|{x + 2}\right|}{x + 2} - \frac{2}{x} = \frac{\left|{x - 2}\right|}{2 - x} + \frac{2}{x}

- No

\frac{\left|{x + 2}\right|}{x + 2} - \frac{2}{x} = - \frac{\left|{x - 2}\right|}{2 - x} - \frac{2}{x}

- No
es decir, función
no es
par ni impar