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Trazado el gráfico de la función/ 6*sqrt(x)/(2*x+7)*(3*x-5)/2-x

Gráfico de la función y = 6*sqrt(x)/(2*x+7)*(3*x-5)/2-x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           ___              
       6*\/ x               
       -------*(3*x - 5)    
       2*x + 7              
f(x) = ----------------- - x
               2
f(x)=−x+6x2x+7(3x−5)2f{\left(x \right)} = - x + \frac{\frac{6 \sqrt{x}}{2 x + 7} \left(3 x - 5\right)}{2} 
f = -x + (((6*sqrt(x))/(2*x + 7))*(3*x - 5))/2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100-2
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−3.5x_{1} = -3.5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
−x+6x2x+7(3x−5)2=0- x + \frac{\frac{6 \sqrt{x}}{2 x + 7} \left(3 x - 5\right)}{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (((6*sqrt(x))/(2*x + 7))*(3*x - 5))/2 - x.
600⋅2+7(−5+0⋅3)2−0\frac{\frac{6 \sqrt{0}}{0 \cdot 2 + 7} \left(-5 + 0 \cdot 3\right)}{2} - 0
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
9x2x+7+(3x−5)(−12x(2x+7)2+3x(2x+7))2−1=0\frac{9 \sqrt{x}}{2 x + 7} + \frac{\left(3 x - 5\right) \left(- \frac{12 \sqrt{x}}{\left(2 x + 7\right)^{2}} + \frac{3}{\sqrt{x} \left(2 x + 7\right)}\right)}{2} - 1 = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=1.30038125099454x_{1} = 1.30038125099454
x2=6.82572384469882x_{2} = 6.82572384469882
Signos de extremos en los puntos:
(1.30038125099454, -1.69193533605714)

(6.82572384469882, -0.951686464862506)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=1.30038125099454x_{1} = 1.30038125099454
Puntos máximos de la función:
x1=6.82572384469882x_{1} = 6.82572384469882
Decrece en los intervalos
[1.30038125099454,6.82572384469882]\left[1.30038125099454, 6.82572384469882\right]
Crece en los intervalos
(−∞,1.30038125099454]∪[6.82572384469882,∞)\left(-\infty, 1.30038125099454\right] \cup \left[6.82572384469882, \infty\right)
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−3.5x_{1} = -3.5
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(−x+6x2x+7(3x−5)2)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(- x + \frac{\frac{6 \sqrt{x}}{2 x + 7} \left(3 x - 5\right)}{2}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(−x+6x2x+7(3x−5)2)=−∞\lim_{x \to \infty}\left(- x + \frac{\frac{6 \sqrt{x}}{2 x + 7} \left(3 x - 5\right)}{2}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (((6*sqrt(x))/(2*x + 7))*(3*x - 5))/2 - x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(−x+6x2x+7(3x−5)2x)=−1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- x + \frac{\frac{6 \sqrt{x}}{2 x + 7} \left(3 x - 5\right)}{2}}{x}\right) = -1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=−xy = - x
lim⁡x→∞(−x+6x2x+7(3x−5)2x)=−1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x + \frac{\frac{6 \sqrt{x}}{2 x + 7} \left(3 x - 5\right)}{2}}{x}\right) = -1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=−xy = - x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
−x+6x2x+7(3x−5)2=x+3−x(−3x−5)7−2x- x + \frac{\frac{6 \sqrt{x}}{2 x + 7} \left(3 x - 5\right)}{2} = x + \frac{3 \sqrt{- x} \left(- 3 x - 5\right)}{7 - 2 x}
- No
−x+6x2x+7(3x−5)2=−x−3−x(−3x−5)7−2x- x + \frac{\frac{6 \sqrt{x}}{2 x + 7} \left(3 x - 5\right)}{2} = - x - \frac{3 \sqrt{- x} \left(- 3 x - 5\right)}{7 - 2 x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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