Sr Examen

Otras calculadoras

Trazado el gráfico de la función/ (x^2-3*x+2)/(x^2+2*x+1)

Gráfico de la función y = (x^2-3*x+2)/(x^2+2*x+1)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        2          
       x  - 3*x + 2
f(x) = ------------
        2          
       x  + 2*x + 1
f(x)=(x2−3x)+2(x2+2x)+1f{\left(x \right)} = \frac{\left(x^{2} - 3 x\right) + 2}{\left(x^{2} + 2 x\right) + 1} 
f = (x^2 - 3*x + 2)/(x^2 + 2*x + 1)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-50005000
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−1x_{1} = -1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(x2−3x)+2(x2+2x)+1=0\frac{\left(x^{2} - 3 x\right) + 2}{\left(x^{2} + 2 x\right) + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=1x_{1} = 1
x2=2x_{2} = 2
Solución numérica
x1=1x_{1} = 1
x2=2x_{2} = 2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x^2 - 3*x + 2)/(x^2 + 2*x + 1).
(02−0)+2(02+0⋅2)+1\frac{\left(0^{2} - 0\right) + 2}{\left(0^{2} + 0 \cdot 2\right) + 1}
Resultado:
f(0)=2f{\left(0 \right)} = 2
Punto:
(0, 2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(−2x−2)((x2−3x)+2)((x2+2x)+1)2+2x−3(x2+2x)+1=0\frac{\left(- 2 x - 2\right) \left(\left(x^{2} - 3 x\right) + 2\right)}{\left(\left(x^{2} + 2 x\right) + 1\right)^{2}} + \frac{2 x - 3}{\left(x^{2} + 2 x\right) + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=75x_{1} = \frac{7}{5}
Signos de extremos en los puntos:
(7/5, -1/24)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=75x_{1} = \frac{7}{5}
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[75,∞)\left[\frac{7}{5}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,75]\left(-\infty, \frac{7}{5}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(−2(x+1)(2x−3)x2+2x+1+(4(x+1)2x2+2x+1−1)(x2−3x+2)x2+2x+1+1)x2+2x+1=0\frac{2 \left(- \frac{2 \left(x + 1\right) \left(2 x - 3\right)}{x^{2} + 2 x + 1} + \frac{\left(\frac{4 \left(x + 1\right)^{2}}{x^{2} + 2 x + 1} - 1\right) \left(x^{2} - 3 x + 2\right)}{x^{2} + 2 x + 1} + 1\right)}{x^{2} + 2 x + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=135x_{1} = \frac{13}{5}
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=−1x_{1} = -1

lim⁡x→−1−(2(−2(x+1)(2x−3)x2+2x+1+(4(x+1)2x2+2x+1−1)(x2−3x+2)x2+2x+1+1)x2+2x+1)=∞\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{2 \left(- \frac{2 \left(x + 1\right) \left(2 x - 3\right)}{x^{2} + 2 x + 1} + \frac{\left(\frac{4 \left(x + 1\right)^{2}}{x^{2} + 2 x + 1} - 1\right) \left(x^{2} - 3 x + 2\right)}{x^{2} + 2 x + 1} + 1\right)}{x^{2} + 2 x + 1}\right) = \infty
lim⁡x→−1+(2(−2(x+1)(2x−3)x2+2x+1+(4(x+1)2x2+2x+1−1)(x2−3x+2)x2+2x+1+1)x2+2x+1)=∞\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{2 \left(- \frac{2 \left(x + 1\right) \left(2 x - 3\right)}{x^{2} + 2 x + 1} + \frac{\left(\frac{4 \left(x + 1\right)^{2}}{x^{2} + 2 x + 1} - 1\right) \left(x^{2} - 3 x + 2\right)}{x^{2} + 2 x + 1} + 1\right)}{x^{2} + 2 x + 1}\right) = \infty
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,135]\left(-\infty, \frac{13}{5}\right]
Convexa en los intervalos
[135,∞)\left[\frac{13}{5}, \infty\right)
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−1x_{1} = -1
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((x2−3x)+2(x2+2x)+1)=1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{2} - 3 x\right) + 2}{\left(x^{2} + 2 x\right) + 1}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=1y = 1
lim⁡x→∞((x2−3x)+2(x2+2x)+1)=1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{2} - 3 x\right) + 2}{\left(x^{2} + 2 x\right) + 1}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=1y = 1
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x^2 - 3*x + 2)/(x^2 + 2*x + 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((x2−3x)+2x((x2+2x)+1))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{2} - 3 x\right) + 2}{x \left(\left(x^{2} + 2 x\right) + 1\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞((x2−3x)+2x((x2+2x)+1))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{2} - 3 x\right) + 2}{x \left(\left(x^{2} + 2 x\right) + 1\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(x2−3x)+2(x2+2x)+1=x2+3x+2x2−2x+1\frac{\left(x^{2} - 3 x\right) + 2}{\left(x^{2} + 2 x\right) + 1} = \frac{x^{2} + 3 x + 2}{x^{2} - 2 x + 1}
- No
(x2−3x)+2(x2+2x)+1=−x2+3x+2x2−2x+1\frac{\left(x^{2} - 3 x\right) + 2}{\left(x^{2} + 2 x\right) + 1} = - \frac{x^{2} + 3 x + 2}{x^{2} - 2 x + 1}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
    © Sr Examen – Калькулятор