Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
(x-3)/(x^2-8)
-
x^4/4-2*x^2+1
-
x^4-2*x^3+3
-
x^4-10*x^2+10
-
Expresiones idénticas
- doscientos mil -((x)/(((x- quinientos mil)/ un millón)^ dos - uno))
- 200000 menos ((x) dividir por (((x menos 500000) dividir por 1000000) al cuadrado menos 1))
- doscientos mil menos ((x) dividir por (((x menos quinientos mil) dividir por un millón) en el grado dos menos uno))
- 200000-((x)/(((x-500000)/1000000)2-1))
- 200000-x/x-500000/10000002-1
- 200000-((x)/(((x-500000)/1000000)²-1))
- 200000-((x)/(((x-500000)/1000000) en el grado 2-1))
- 200000-x/x-500000/1000000^2-1
- 200000-((x) dividir por (((x-500000) dividir por 1000000)^2-1))
-
Expresiones semejantes
- 200000-((x)/(((x+500000)/1000000)^2-1))
- 200000+((x)/(((x-500000)/1000000)^2-1))
- 200000-((x)/(((x-500000)/1000000)^2+1))
Gráfico de la función y = 200000-((x)/(((x-500000)/1000000)^2-1))
Solución
Ha introducido
[src]
x
f(x) = 200000 - -----------------
2
/x - 500000\
|----------| - 1
\ 1000000 /
$$f{\left(x \right)} = - \frac{x}{\left(\frac{x - 500000}{1000000}\right)^{2} - 1} + 200000$$
f = -x/(((x - 500000)/1000000)^2 - 1) + 200000
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -500000$$
$$x_{2} = 1500000$$
$$x_{1} = -500000$$
$$x_{2} = 1500000$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$- \frac{x}{\left(\frac{x - 500000}{1000000}\right)^{2} - 1} + 200000 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 3000000 - 500000 \sqrt{39}$$
$$x_{2} = 3000000 + 500000 \sqrt{39}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -122498.999199199$$
$$x_{2} = 6122498.9991992$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$- \frac{x}{\left(\frac{x - 500000}{1000000}\right)^{2} - 1} + 200000 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 3000000 - 500000 \sqrt{39}$$
$$x_{2} = 3000000 + 500000 \sqrt{39}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -122498.999199199$$
$$x_{2} = 6122498.9991992$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{x \left(\frac{1}{1000000} - \frac{x}{500000000000}\right)}{\left(\left(\frac{x - 500000}{1000000}\right)^{2} - 1\right)^{2}} - \frac{1}{\left(\frac{x - 500000}{1000000}\right)^{2} - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{x \left(\frac{1}{1000000} - \frac{x}{500000000000}\right)}{\left(\left(\frac{x - 500000}{1000000}\right)^{2} - 1\right)^{2}} - \frac{1}{\left(\frac{x - 500000}{1000000}\right)^{2} - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2000000000000 \left(- \frac{4 x \left(x - 500000\right)^{2}}{\left(x - 500000\right)^{2} - 1000000000000} + 3 x - 1000000\right)}{\left(\left(x - 500000\right)^{2} - 1000000000000\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - 500000 \sqrt[3]{3} + 500000 \cdot 3^{\frac{2}{3}}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -500000$$
$$x_{2} = 1500000$$
$$\lim_{x \to -500000^-}\left(\frac{2000000000000 \left(- \frac{4 x \left(x - 500000\right)^{2}}{\left(x - 500000\right)^{2} - 1000000000000} + 3 x - 1000000\right)}{\left(\left(x - 500000\right)^{2} - 1000000000000\right)^{2}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to -500000^+}\left(\frac{2000000000000 \left(- \frac{4 x \left(x - 500000\right)^{2}}{\left(x - 500000\right)^{2} - 1000000000000} + 3 x - 1000000\right)}{\left(\left(x - 500000\right)^{2} - 1000000000000\right)^{2}}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -500000$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 1500000^-}\left(\frac{2000000000000 \left(- \frac{4 x \left(x - 500000\right)^{2}}{\left(x - 500000\right)^{2} - 1000000000000} + 3 x - 1000000\right)}{\left(\left(x - 500000\right)^{2} - 1000000000000\right)^{2}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 1500000^+}\left(\frac{2000000000000 \left(- \frac{4 x \left(x - 500000\right)^{2}}{\left(x - 500000\right)^{2} - 1000000000000} + 3 x - 1000000\right)}{\left(\left(x - 500000\right)^{2} - 1000000000000\right)^{2}}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 1500000$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2000000000000 \left(- \frac{4 x \left(x - 500000\right)^{2}}{\left(x - 500000\right)^{2} - 1000000000000} + 3 x - 1000000\right)}{\left(\left(x - 500000\right)^{2} - 1000000000000\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - 500000 \sqrt[3]{3} + 500000 \cdot 3^{\frac{2}{3}}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -500000$$
$$x_{2} = 1500000$$
$$\lim_{x \to -500000^-}\left(\frac{2000000000000 \left(- \frac{4 x \left(x - 500000\right)^{2}}{\left(x - 500000\right)^{2} - 1000000000000} + 3 x - 1000000\right)}{\left(\left(x - 500000\right)^{2} - 1000000000000\right)^{2}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to -500000^+}\left(\frac{2000000000000 \left(- \frac{4 x \left(x - 500000\right)^{2}}{\left(x - 500000\right)^{2} - 1000000000000} + 3 x - 1000000\right)}{\left(\left(x - 500000\right)^{2} - 1000000000000\right)^{2}}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -500000$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 1500000^-}\left(\frac{2000000000000 \left(- \frac{4 x \left(x - 500000\right)^{2}}{\left(x - 500000\right)^{2} - 1000000000000} + 3 x - 1000000\right)}{\left(\left(x - 500000\right)^{2} - 1000000000000\right)^{2}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 1500000^+}\left(\frac{2000000000000 \left(- \frac{4 x \left(x - 500000\right)^{2}}{\left(x - 500000\right)^{2} - 1000000000000} + 3 x - 1000000\right)}{\left(\left(x - 500000\right)^{2} - 1000000000000\right)^{2}}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 1500000$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -500000$$
$$x_{2} = 1500000$$
$$x_{1} = -500000$$
$$x_{2} = 1500000$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \frac{x}{\left(\frac{x - 500000}{1000000}\right)^{2} - 1} + 200000\right) = 200000$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 200000$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{x}{\left(\frac{x - 500000}{1000000}\right)^{2} - 1} + 200000\right) = 200000$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 200000$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \frac{x}{\left(\frac{x - 500000}{1000000}\right)^{2} - 1} + 200000\right) = 200000$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 200000$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{x}{\left(\frac{x - 500000}{1000000}\right)^{2} - 1} + 200000\right) = 200000$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 200000$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 200000 - x/(((x - 500000)/1000000)^2 - 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \frac{x}{\left(\frac{x - 500000}{1000000}\right)^{2} - 1} + 200000}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \frac{x}{\left(\frac{x - 500000}{1000000}\right)^{2} - 1} + 200000}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \frac{x}{\left(\frac{x - 500000}{1000000}\right)^{2} - 1} + 200000}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \frac{x}{\left(\frac{x - 500000}{1000000}\right)^{2} - 1} + 200000}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$- \frac{x}{\left(\frac{x - 500000}{1000000}\right)^{2} - 1} + 200000 = \frac{x}{\left(- \frac{x}{1000000} - \frac{1}{2}\right)^{2} - 1} + 200000$$
- No
$$- \frac{x}{\left(\frac{x - 500000}{1000000}\right)^{2} - 1} + 200000 = - \frac{x}{\left(- \frac{x}{1000000} - \frac{1}{2}\right)^{2} - 1} - 200000$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$- \frac{x}{\left(\frac{x - 500000}{1000000}\right)^{2} - 1} + 200000 = \frac{x}{\left(- \frac{x}{1000000} - \frac{1}{2}\right)^{2} - 1} + 200000$$
- No
$$- \frac{x}{\left(\frac{x - 500000}{1000000}\right)^{2} - 1} + 200000 = - \frac{x}{\left(- \frac{x}{1000000} - \frac{1}{2}\right)^{2} - 1} - 200000$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar