Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ (x/2)+arcctg(2x)

Gráfico de la función y = (x/2)+arcctg(2x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       x            
f(x) = - + acot(2*x)
       2
f(x)=x2+acot⁡(2x)f{\left(x \right)} = \frac{x}{2} + \operatorname{acot}{\left(2 x \right)} 
f = x/2 + acot(2*x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-1010
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x2+acot⁡(2x)=0\frac{x}{2} + \operatorname{acot}{\left(2 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x/2 + acot(2*x).
02+acot⁡(0⋅2)\frac{0}{2} + \operatorname{acot}{\left(0 \cdot 2 \right)}
Resultado:
f(0)=π2f{\left(0 \right)} = \frac{\pi}{2}
Punto:
(0, pi/2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
12−24x2+1=0\frac{1}{2} - \frac{2}{4 x^{2} + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−32x_{1} = - \frac{\sqrt{3}}{2}
x2=32x_{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}
Signos de extremos en los puntos:
    ___       ___      
 -\/ 3      \/ 3    pi 
(-------, - ----- - --)
    2         4     6  

   ___    ___      
 \/ 3   \/ 3    pi 
(-----, ----- + --)
   2      4     6


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=32x_{1} = \frac{\sqrt{3}}{2}
Puntos máximos de la función:
x1=−32x_{1} = - \frac{\sqrt{3}}{2}
Decrece en los intervalos
(−∞,−32]∪[32,∞)\left(-\infty, - \frac{\sqrt{3}}{2}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{3}}{2}, \infty\right)
Crece en los intervalos
[−32,32]\left[- \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
16x(4x2+1)2=0\frac{16 x}{\left(4 x^{2} + 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x2+acot⁡(2x))=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{2} + \operatorname{acot}{\left(2 x \right)}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(x2+acot⁡(2x))=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{2} + \operatorname{acot}{\left(2 x \right)}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x/2 + acot(2*x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(x2+acot⁡(2x)x)=12\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{x}{2} + \operatorname{acot}{\left(2 x \right)}}{x}\right) = \frac{1}{2}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=x2y = \frac{x}{2}
lim⁡x→∞(x2+acot⁡(2x)x)=12\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{x}{2} + \operatorname{acot}{\left(2 x \right)}}{x}\right) = \frac{1}{2}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=x2y = \frac{x}{2}
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x2+acot⁡(2x)=−x2−acot⁡(2x)\frac{x}{2} + \operatorname{acot}{\left(2 x \right)} = - \frac{x}{2} - \operatorname{acot}{\left(2 x \right)}
- No
x2+acot⁡(2x)=x2+acot⁡(2x)\frac{x}{2} + \operatorname{acot}{\left(2 x \right)} = \frac{x}{2} + \operatorname{acot}{\left(2 x \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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