Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ -x/(sqrt(4-x^2))

Gráfico de la función y = -x/(sqrt(4-x^2))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           -x     
f(x) = -----------
          ________
         /      2 
       \/  4 - x
f(x)=(−1)x4−x2f{\left(x \right)} = \frac{\left(-1\right) x}{\sqrt{4 - x^{2}}} 
f = (-x)/sqrt(4 - x^2)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-1010
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−2x_{1} = -2
x2=2x_{2} = 2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(−1)x4−x2=0\frac{\left(-1\right) x}{\sqrt{4 - x^{2}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (-x)/sqrt(4 - x^2).
(−1)04−02\frac{\left(-1\right) 0}{\sqrt{4 - 0^{2}}}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−x2(4−x2)32−14−x2=0- \frac{x^{2}}{\left(4 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{\sqrt{4 - x^{2}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
x(3x2x2−4−3)(4−x2)32=0\frac{x \left(\frac{3 x^{2}}{x^{2} - 4} - 3\right)}{\left(4 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=−2x_{1} = -2
x2=2x_{2} = 2

lim⁡x→−2−(x(3x2x2−4−3)(4−x2)32)=−∞i\lim_{x \to -2^-}\left(\frac{x \left(\frac{3 x^{2}}{x^{2} - 4} - 3\right)}{\left(4 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}\right) = - \infty i
lim⁡x→−2+(x(3x2x2−4−3)(4−x2)32)=∞\lim_{x \to -2^+}\left(\frac{x \left(\frac{3 x^{2}}{x^{2} - 4} - 3\right)}{\left(4 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}\right) = \infty
- los límites no son iguales, signo
x1=−2x_{1} = -2
- es el punto de flexión
lim⁡x→2−(x(3x2x2−4−3)(4−x2)32)=−∞\lim_{x \to 2^-}\left(\frac{x \left(\frac{3 x^{2}}{x^{2} - 4} - 3\right)}{\left(4 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}\right) = -\infty
lim⁡x→2+(x(3x2x2−4−3)(4−x2)32)=∞i\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{x \left(\frac{3 x^{2}}{x^{2} - 4} - 3\right)}{\left(4 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}\right) = \infty i
- los límites no son iguales, signo
x2=2x_{2} = 2
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Convexa en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−2x_{1} = -2
x2=2x_{2} = 2
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((−1)x4−x2)=−i\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(-1\right) x}{\sqrt{4 - x^{2}}}\right) = - i
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=−iy = - i
lim⁡x→∞((−1)x4−x2)=i\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(-1\right) x}{\sqrt{4 - x^{2}}}\right) = i
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=iy = i
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (-x)/sqrt(4 - x^2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(−14−x2)=0\lim_{x \to -\infty}\left(- \frac{1}{\sqrt{4 - x^{2}}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(−14−x2)=0\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{1}{\sqrt{4 - x^{2}}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(−1)x4−x2=x4−x2\frac{\left(-1\right) x}{\sqrt{4 - x^{2}}} = \frac{x}{\sqrt{4 - x^{2}}}
- No
(−1)x4−x2=−x4−x2\frac{\left(-1\right) x}{\sqrt{4 - x^{2}}} = - \frac{x}{\sqrt{4 - x^{2}}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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