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(6/x)+(2/3)+(9+x)/6
Trazado el gráfico de la función/ (6/x)+(2/3)+(9+x)/6

Gráfico de la función y = (6/x)+(2/3)+(9+x)/6

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       6   2   9 + x
f(x) = - + - + -----
       x   3     6
f(x)=(23+6x)+x+96f{\left(x \right)} = \left(\frac{2}{3} + \frac{6}{x}\right) + \frac{x + 9}{6} 
f = 2/3 + 6/x + (x + 9)/6
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-250250
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(23+6x)+x+96=0\left(\frac{2}{3} + \frac{6}{x}\right) + \frac{x + 9}{6} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−9x_{1} = -9
x2=−4x_{2} = -4
Solución numérica
x1=−4x_{1} = -4
x2=−9x_{2} = -9
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 6/x + 2/3 + (9 + x)/6.
(60+23)+96\left(\frac{6}{0} + \frac{2}{3}\right) + \frac{9}{6}
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
16−6x2=0\frac{1}{6} - \frac{6}{x^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−6x_{1} = -6
x2=6x_{2} = 6
Signos de extremos en los puntos:
(-6, 1/6)

(6, 25/6)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=6x_{1} = 6
Puntos máximos de la función:
x1=−6x_{1} = -6
Decrece en los intervalos
(−∞,−6]∪[6,∞)\left(-\infty, -6\right] \cup \left[6, \infty\right)
Crece en los intervalos
[−6,6]\left[-6, 6\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
12x3=0\frac{12}{x^{3}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((23+6x)+x+96)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(\frac{2}{3} + \frac{6}{x}\right) + \frac{x + 9}{6}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((23+6x)+x+96)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(\frac{2}{3} + \frac{6}{x}\right) + \frac{x + 9}{6}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 6/x + 2/3 + (9 + x)/6, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((23+6x)+x+96x)=16\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(\frac{2}{3} + \frac{6}{x}\right) + \frac{x + 9}{6}}{x}\right) = \frac{1}{6}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=x6y = \frac{x}{6}
lim⁡x→∞((23+6x)+x+96x)=16\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\frac{2}{3} + \frac{6}{x}\right) + \frac{x + 9}{6}}{x}\right) = \frac{1}{6}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=x6y = \frac{x}{6}
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(23+6x)+x+96=−x6+136−6x\left(\frac{2}{3} + \frac{6}{x}\right) + \frac{x + 9}{6} = - \frac{x}{6} + \frac{13}{6} - \frac{6}{x}
- No
(23+6x)+x+96=x6−136+6x\left(\frac{2}{3} + \frac{6}{x}\right) + \frac{x + 9}{6} = \frac{x}{6} - \frac{13}{6} + \frac{6}{x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = (6/x)+(2/3)+(9+x)/6
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