Sr Examen

Otras calculadoras

  • ¿Cómo usar?

  • Gráfico de la función y =:
  • -x^2+3*x -x^2+3*x
  • x^2-2*x+8 x^2-2*x+8
  • y=x y=x
  • (x-1)/(x+2) (x-1)/(x+2)
  • Integral de d{x}:
  • x^2/(x^4+1)
  • Derivada de:
  • x^2/(x^4+1) x^2/(x^4+1)

  • Expresiones idénticas

  • x^ dos /(x^ cuatro + uno)
  • x al cuadrado dividir por (x en el grado 4 más 1)
  • x en el grado dos dividir por (x en el grado cuatro más uno)
  • x2/(x4+1)
  • x2/x4+1
  • x²/(x⁴+1)
  • x en el grado 2/(x en el grado 4+1)
  • x^2/x^4+1
  • x^2 dividir por (x^4+1)

  • Expresiones semejantes

  • x^2/(x^4-1)
Trazado el gráfico de la función/ x^2/(x^4+1)

Gráfico de la función y = x^2/(x^4+1)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          2  
         x   
f(x) = ------
        4    
       x  + 1
f(x)=x2x4+1f{\left(x \right)} = \frac{x^{2}}{x^{4} + 1} 
f = x^2/(x^4 + 1)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100.01.0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x2x4+1=0\frac{x^{2}}{x^{4} + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x^2/(x^4 + 1).
0204+1\frac{0^{2}}{0^{4} + 1}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−4x5(x4+1)2+2xx4+1=0- \frac{4 x^{5}}{\left(x^{4} + 1\right)^{2}} + \frac{2 x}{x^{4} + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−1x_{1} = -1
x2=0x_{2} = 0
x3=1x_{3} = 1
Signos de extremos en los puntos:
(-1, 1/2)

(0, 0)

(1, 1/2)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Puntos máximos de la función:
x1=−1x_{1} = -1
x1=1x_{1} = 1
Decrece en los intervalos
(−∞,−1]∪[0,∞)\left(-\infty, -1\right] \cup \left[0, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,0]∪[1,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[1, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(2x4(8x4x4+1−3)x4+1−8x4x4+1+1)x4+1=0\frac{2 \left(\frac{2 x^{4} \left(\frac{8 x^{4}}{x^{4} + 1} - 3\right)}{x^{4} + 1} - \frac{8 x^{4}}{x^{4} + 1} + 1\right)}{x^{4} + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−1.40662683528827x_{1} = -1.40662683528827
x2=−0.5401828449376x_{2} = -0.5401828449376
x3=0.5401828449376x_{3} = 0.5401828449376
x4=1.40662683528827x_{4} = 1.40662683528827

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[1.40662683528827,∞)\left[1.40662683528827, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−0.5401828449376]∪[0.5401828449376,1.40662683528827]\left(-\infty, -0.5401828449376\right] \cup \left[0.5401828449376, 1.40662683528827\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x2x4+1)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2}}{x^{4} + 1}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(x2x4+1)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2}}{x^{4} + 1}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^2/(x^4 + 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(xx4+1)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{x^{4} + 1}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(xx4+1)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{x^{4} + 1}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x2x4+1=x2x4+1\frac{x^{2}}{x^{4} + 1} = \frac{x^{2}}{x^{4} + 1}
- Sí
x2x4+1=−x2x4+1\frac{x^{2}}{x^{4} + 1} = - \frac{x^{2}}{x^{4} + 1}
- No
es decir, función
es
par
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