Sr Examen

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Gráfico de la función y = -x^3/(6*sqrt(4-x^2))+x*sqrt(4-x^2)/3

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
                            ________
              3            /      2 
            -x         x*\/  4 - x  
f(x) = ------------- + -------------
            ________         3      
           /      2                 
       6*\/  4 - x                  
$$f{\left(x \right)} = \frac{\left(-1\right) x^{3}}{6 \sqrt{4 - x^{2}}} + \frac{x \sqrt{4 - x^{2}}}{3}$$
f = (-x^3)/((6*sqrt(4 - x^2))) + (x*sqrt(4 - x^2))/3
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 2$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left(-1\right) x^{3}}{6 \sqrt{4 - x^{2}}} + \frac{x \sqrt{4 - x^{2}}}{3} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{2 \sqrt{6}}{3}$$
$$x_{3} = \frac{2 \sqrt{6}}{3}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 1.63299316185545$$
$$x_{2} = -1.63299316185545$$
$$x_{3} = 0$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (-x^3)/((6*sqrt(4 - x^2))) + (x*sqrt(4 - x^2))/3.
$$\frac{\left(-1\right) 0^{3}}{6 \sqrt{4 - 0^{2}}} + \frac{0 \sqrt{4 - 0^{2}}}{3}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{x^{4}}{6 \left(4 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} - 3 x^{2} \frac{1}{6 \sqrt{4 - x^{2}}} - \frac{x^{2}}{3 \sqrt{4 - x^{2}}} + \frac{\sqrt{4 - x^{2}}}{3} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \sqrt{3 - \frac{\sqrt{33}}{3}}$$
$$x_{2} = \sqrt{3 - \frac{\sqrt{33}}{3}}$$
$$x_{3} = - \sqrt{\frac{\sqrt{33}}{3} + 3}$$
$$x_{4} = \sqrt{\frac{\sqrt{33}}{3} + 3}$$
Signos de extremos en los puntos:
                            ____________      ____________                 3/2   
                           /       ____      /       ____      /      ____\      
       ____________       /      \/ 33      /      \/ 33       |    \/ 33 |      
      /       ____       /   1 + ------ *  /   3 - ------      |3 - ------|      
     /      \/ 33      \/          3     \/          3         \      3   /      
(-  /   3 - ------, - ----------------------------------- + -------------------)
  \/          3                         3                           ____________ 
                                                                   /       ____  
                                                                  /      \/ 33   
                                                             6*  /   1 + ------  
                                                               \/          3     

                                    3/2          ____________      ____________ 
                        /      ____\            /       ____      /       ____  
      ____________      |    \/ 33 |           /      \/ 33      /      \/ 33   
     /       ____       |3 - ------|          /   1 + ------ *  /   3 - ------  
    /      \/ 33        \      3   /        \/          3     \/          3     
(  /   3 - ------, - ------------------- + -----------------------------------)
 \/          3               ____________                    3                  
                            /       ____                                        
                           /      \/ 33                                         
                      6*  /   1 + ------                                        
                        \/          3                                           

                            ____________      ____________                 3/2   
                           /       ____      /       ____      /      ____\      
       ____________       /      \/ 33      /      \/ 33       |    \/ 33 |      
      /       ____       /   1 - ------ *  /   3 + ------      |3 + ------|      
     /      \/ 33      \/          3     \/          3         \      3   /      
(-  /   3 + ------, - ----------------------------------- + -------------------)
  \/          3                         3                           ____________ 
                                                                   /       ____  
                                                                  /      \/ 33   
                                                             6*  /   1 - ------  
                                                               \/          3     

                                    3/2          ____________      ____________ 
                        /      ____\            /       ____      /       ____  
      ____________      |    \/ 33 |           /      \/ 33      /      \/ 33   
     /       ____       |3 + ------|          /   1 - ------ *  /   3 + ------  
    /      \/ 33        \      3   /        \/          3     \/          3     
(  /   3 + ------, - ------------------- + -----------------------------------)
 \/          3               ____________                    3                  
                            /       ____                                        
                           /      \/ 33                                         
                      6*  /   1 - ------                                        
                        \/          3                                           


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \sqrt{3 - \frac{\sqrt{33}}{3}}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \sqrt{3 - \frac{\sqrt{33}}{3}}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[- \sqrt{3 - \frac{\sqrt{33}}{3}}, \sqrt{3 - \frac{\sqrt{33}}{3}}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \sqrt{3 - \frac{\sqrt{33}}{3}}\right] \cup \left[\sqrt{3 - \frac{\sqrt{33}}{3}}, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- \frac{x \left(\frac{x^{4}}{2 \left(4 - x^{2}\right)^{2}} + \frac{3 x^{2}}{2 \left(4 - x^{2}\right)} + 2\right)}{\sqrt{4 - x^{2}}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 2$$

$$\lim_{x \to -2^-}\left(- \frac{x \left(\frac{x^{4}}{2 \left(4 - x^{2}\right)^{2}} + \frac{3 x^{2}}{2 \left(4 - x^{2}\right)} + 2\right)}{\sqrt{4 - x^{2}}}\right) = - \infty i$$
$$\lim_{x \to -2^+}\left(- \frac{x \left(\frac{x^{4}}{2 \left(4 - x^{2}\right)^{2}} + \frac{3 x^{2}}{2 \left(4 - x^{2}\right)} + 2\right)}{\sqrt{4 - x^{2}}}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -2$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 2^-}\left(- \frac{x \left(\frac{x^{4}}{2 \left(4 - x^{2}\right)^{2}} + \frac{3 x^{2}}{2 \left(4 - x^{2}\right)} + 2\right)}{\sqrt{4 - x^{2}}}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 2^+}\left(- \frac{x \left(\frac{x^{4}}{2 \left(4 - x^{2}\right)^{2}} + \frac{3 x^{2}}{2 \left(4 - x^{2}\right)} + 2\right)}{\sqrt{4 - x^{2}}}\right) = \infty i$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 2$$
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[0, \infty\right)$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 2$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(-1\right) x^{3}}{6 \sqrt{4 - x^{2}}} + \frac{x \sqrt{4 - x^{2}}}{3}\right) = - \infty i$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(-1\right) x^{3}}{6 \sqrt{4 - x^{2}}} + \frac{x \sqrt{4 - x^{2}}}{3}\right) = \infty i$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (-x^3)/((6*sqrt(4 - x^2))) + (x*sqrt(4 - x^2))/3, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{\left(-1\right) x^{3}}{6 \sqrt{4 - x^{2}}} + \frac{x \sqrt{4 - x^{2}}}{3}}{x}\right) = \infty i$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{\left(-1\right) x^{3}}{6 \sqrt{4 - x^{2}}} + \frac{x \sqrt{4 - x^{2}}}{3}}{x}\right) = \infty i$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left(-1\right) x^{3}}{6 \sqrt{4 - x^{2}}} + \frac{x \sqrt{4 - x^{2}}}{3} = x^{3} \frac{1}{6 \sqrt{4 - x^{2}}} - \frac{x \sqrt{4 - x^{2}}}{3}$$
- No
$$\frac{\left(-1\right) x^{3}}{6 \sqrt{4 - x^{2}}} + \frac{x \sqrt{4 - x^{2}}}{3} = - x^{3} \frac{1}{6 \sqrt{4 - x^{2}}} + \frac{x \sqrt{4 - x^{2}}}{3}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar