Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada$$- \frac{x^{4}}{6 \left(4 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} - 3 x^{2} \frac{1}{6 \sqrt{4 - x^{2}}} - \frac{x^{2}}{3 \sqrt{4 - x^{2}}} + \frac{\sqrt{4 - x^{2}}}{3} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \sqrt{3 - \frac{\sqrt{33}}{3}}$$
$$x_{2} = \sqrt{3 - \frac{\sqrt{33}}{3}}$$
$$x_{3} = - \sqrt{\frac{\sqrt{33}}{3} + 3}$$
$$x_{4} = \sqrt{\frac{\sqrt{33}}{3} + 3}$$
Signos de extremos en los puntos:
____________ ____________ 3/2
/ ____ / ____ / ____\
____________ / \/ 33 / \/ 33 | \/ 33 |
/ ____ / 1 + ------ * / 3 - ------ |3 - ------|
/ \/ 33 \/ 3 \/ 3 \ 3 /
(- / 3 - ------, - ----------------------------------- + -------------------)
\/ 3 3 ____________
/ ____
/ \/ 33
6* / 1 + ------
\/ 3
3/2 ____________ ____________
/ ____\ / ____ / ____
____________ | \/ 33 | / \/ 33 / \/ 33
/ ____ |3 - ------| / 1 + ------ * / 3 - ------
/ \/ 33 \ 3 / \/ 3 \/ 3
( / 3 - ------, - ------------------- + -----------------------------------)
\/ 3 ____________ 3
/ ____
/ \/ 33
6* / 1 + ------
\/ 3
____________ ____________ 3/2
/ ____ / ____ / ____\
____________ / \/ 33 / \/ 33 | \/ 33 |
/ ____ / 1 - ------ * / 3 + ------ |3 + ------|
/ \/ 33 \/ 3 \/ 3 \ 3 /
(- / 3 + ------, - ----------------------------------- + -------------------)
\/ 3 3 ____________
/ ____
/ \/ 33
6* / 1 - ------
\/ 3
3/2 ____________ ____________
/ ____\ / ____ / ____
____________ | \/ 33 | / \/ 33 / \/ 33
/ ____ |3 + ------| / 1 - ------ * / 3 + ------
/ \/ 33 \ 3 / \/ 3 \/ 3
( / 3 + ------, - ------------------- + -----------------------------------)
\/ 3 ____________ 3
/ ____
/ \/ 33
6* / 1 - ------
\/ 3
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \sqrt{3 - \frac{\sqrt{33}}{3}}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \sqrt{3 - \frac{\sqrt{33}}{3}}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[- \sqrt{3 - \frac{\sqrt{33}}{3}}, \sqrt{3 - \frac{\sqrt{33}}{3}}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \sqrt{3 - \frac{\sqrt{33}}{3}}\right] \cup \left[\sqrt{3 - \frac{\sqrt{33}}{3}}, \infty\right)$$