Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^4-x^2+2
-
(x^2-5)/(x-3)
-
(x^2-9)/(x^2-4)
-
x/(1-x^3)
-
Expresiones idénticas
- -x^ tres /(seis *sqrt(cuatro -x^ dos))+x*sqrt(cuatro -x^ dos)/ tres
- menos x al cubo dividir por (6 multiplicar por raíz cuadrada de (4 menos x al cuadrado )) más x multiplicar por raíz cuadrada de (4 menos x al cuadrado ) dividir por 3
- menos x en el grado tres dividir por (seis multiplicar por raíz cuadrada de (cuatro menos x en el grado dos)) más x multiplicar por raíz cuadrada de (cuatro menos x en el grado dos) dividir por tres
- -x^3/(6*√(4-x^2))+x*√(4-x^2)/3
- -x3/(6*sqrt(4-x2))+x*sqrt(4-x2)/3
- -x3/6*sqrt4-x2+x*sqrt4-x2/3
- -x³/(6*sqrt(4-x²))+x*sqrt(4-x²)/3
- -x en el grado 3/(6*sqrt(4-x en el grado 2))+x*sqrt(4-x en el grado 2)/3
- -x^3/(6sqrt(4-x^2))+xsqrt(4-x^2)/3
- -x3/(6sqrt(4-x2))+xsqrt(4-x2)/3
- -x3/6sqrt4-x2+xsqrt4-x2/3
- -x^3/6sqrt4-x^2+xsqrt4-x^2/3
- -x^3 dividir por (6*sqrt(4-x^2))+x*sqrt(4-x^2) dividir por 3
-
Expresiones semejantes
- -x^3/(6*sqrt(4-x^2))-x*sqrt(4-x^2)/3
- -x^3/(6*sqrt(4+x^2))+x*sqrt(4-x^2)/3
- -x^3/(6*sqrt(4-x^2))+x*sqrt(4+x^2)/3
- x^3/(6*sqrt(4-x^2))+x*sqrt(4-x^2)/3
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(1-x*x)
- sqrt(x)/(sqrt(x)+1)
- sqrt(x+4)^3
- sqrt(x)^2+5*x
- sqrt(x^3-3x)
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(1-x*x)
- sqrt(x)/(sqrt(x)+1)
- sqrt(x+4)^3
- sqrt(x)^2+5*x
- sqrt(x^3-3x)
Gráfico de la función y = -x^3/(6*sqrt(4-x^2))+x*sqrt(4-x^2)/3
Solución
Ha introducido
[src]
________
3 / 2
-x x*\/ 4 - x
f(x) = ------------- + -------------
________ 3
/ 2
6*\/ 4 - x
$$f{\left(x \right)} = \frac{\left(-1\right) x^{3}}{6 \sqrt{4 - x^{2}}} + \frac{x \sqrt{4 - x^{2}}}{3}$$
f = (-x^3)/((6*sqrt(4 - x^2))) + (x*sqrt(4 - x^2))/3
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 2$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left(-1\right) x^{3}}{6 \sqrt{4 - x^{2}}} + \frac{x \sqrt{4 - x^{2}}}{3} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{2 \sqrt{6}}{3}$$
$$x_{3} = \frac{2 \sqrt{6}}{3}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 1.63299316185545$$
$$x_{2} = -1.63299316185545$$
$$x_{3} = 0$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left(-1\right) x^{3}}{6 \sqrt{4 - x^{2}}} + \frac{x \sqrt{4 - x^{2}}}{3} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{2 \sqrt{6}}{3}$$
$$x_{3} = \frac{2 \sqrt{6}}{3}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 1.63299316185545$$
$$x_{2} = -1.63299316185545$$
$$x_{3} = 0$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{x^{4}}{6 \left(4 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} - 3 x^{2} \frac{1}{6 \sqrt{4 - x^{2}}} - \frac{x^{2}}{3 \sqrt{4 - x^{2}}} + \frac{\sqrt{4 - x^{2}}}{3} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \sqrt{3 - \frac{\sqrt{33}}{3}}$$
$$x_{2} = \sqrt{3 - \frac{\sqrt{33}}{3}}$$
$$x_{3} = - \sqrt{\frac{\sqrt{33}}{3} + 3}$$
$$x_{4} = \sqrt{\frac{\sqrt{33}}{3} + 3}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \sqrt{3 - \frac{\sqrt{33}}{3}}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \sqrt{3 - \frac{\sqrt{33}}{3}}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[- \sqrt{3 - \frac{\sqrt{33}}{3}}, \sqrt{3 - \frac{\sqrt{33}}{3}}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \sqrt{3 - \frac{\sqrt{33}}{3}}\right] \cup \left[\sqrt{3 - \frac{\sqrt{33}}{3}}, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{x^{4}}{6 \left(4 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} - 3 x^{2} \frac{1}{6 \sqrt{4 - x^{2}}} - \frac{x^{2}}{3 \sqrt{4 - x^{2}}} + \frac{\sqrt{4 - x^{2}}}{3} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \sqrt{3 - \frac{\sqrt{33}}{3}}$$
$$x_{2} = \sqrt{3 - \frac{\sqrt{33}}{3}}$$
$$x_{3} = - \sqrt{\frac{\sqrt{33}}{3} + 3}$$
$$x_{4} = \sqrt{\frac{\sqrt{33}}{3} + 3}$$
Signos de extremos en los puntos:
____________ ____________ 3/2
/ ____ / ____ / ____\
____________ / \/ 33 / \/ 33 | \/ 33 |
/ ____ / 1 + ------ * / 3 - ------ |3 - ------|
/ \/ 33 \/ 3 \/ 3 \ 3 /
(- / 3 - ------, - ----------------------------------- + -------------------)
\/ 3 3 ____________
/ ____
/ \/ 33
6* / 1 + ------
\/ 3 3/2 ____________ ____________
/ ____\ / ____ / ____
____________ | \/ 33 | / \/ 33 / \/ 33
/ ____ |3 - ------| / 1 + ------ * / 3 - ------
/ \/ 33 \ 3 / \/ 3 \/ 3
( / 3 - ------, - ------------------- + -----------------------------------)
\/ 3 ____________ 3
/ ____
/ \/ 33
6* / 1 + ------
\/ 3 ____________ ____________ 3/2
/ ____ / ____ / ____\
____________ / \/ 33 / \/ 33 | \/ 33 |
/ ____ / 1 - ------ * / 3 + ------ |3 + ------|
/ \/ 33 \/ 3 \/ 3 \ 3 /
(- / 3 + ------, - ----------------------------------- + -------------------)
\/ 3 3 ____________
/ ____
/ \/ 33
6* / 1 - ------
\/ 3 3/2 ____________ ____________
/ ____\ / ____ / ____
____________ | \/ 33 | / \/ 33 / \/ 33
/ ____ |3 + ------| / 1 - ------ * / 3 + ------
/ \/ 33 \ 3 / \/ 3 \/ 3
( / 3 + ------, - ------------------- + -----------------------------------)
\/ 3 ____________ 3
/ ____
/ \/ 33
6* / 1 - ------
\/ 3 Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \sqrt{3 - \frac{\sqrt{33}}{3}}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \sqrt{3 - \frac{\sqrt{33}}{3}}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[- \sqrt{3 - \frac{\sqrt{33}}{3}}, \sqrt{3 - \frac{\sqrt{33}}{3}}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \sqrt{3 - \frac{\sqrt{33}}{3}}\right] \cup \left[\sqrt{3 - \frac{\sqrt{33}}{3}}, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- \frac{x \left(\frac{x^{4}}{2 \left(4 - x^{2}\right)^{2}} + \frac{3 x^{2}}{2 \left(4 - x^{2}\right)} + 2\right)}{\sqrt{4 - x^{2}}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 2$$
$$\lim_{x \to -2^-}\left(- \frac{x \left(\frac{x^{4}}{2 \left(4 - x^{2}\right)^{2}} + \frac{3 x^{2}}{2 \left(4 - x^{2}\right)} + 2\right)}{\sqrt{4 - x^{2}}}\right) = - \infty i$$
$$\lim_{x \to -2^+}\left(- \frac{x \left(\frac{x^{4}}{2 \left(4 - x^{2}\right)^{2}} + \frac{3 x^{2}}{2 \left(4 - x^{2}\right)} + 2\right)}{\sqrt{4 - x^{2}}}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -2$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 2^-}\left(- \frac{x \left(\frac{x^{4}}{2 \left(4 - x^{2}\right)^{2}} + \frac{3 x^{2}}{2 \left(4 - x^{2}\right)} + 2\right)}{\sqrt{4 - x^{2}}}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 2^+}\left(- \frac{x \left(\frac{x^{4}}{2 \left(4 - x^{2}\right)^{2}} + \frac{3 x^{2}}{2 \left(4 - x^{2}\right)} + 2\right)}{\sqrt{4 - x^{2}}}\right) = \infty i$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 2$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[0, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- \frac{x \left(\frac{x^{4}}{2 \left(4 - x^{2}\right)^{2}} + \frac{3 x^{2}}{2 \left(4 - x^{2}\right)} + 2\right)}{\sqrt{4 - x^{2}}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 2$$
$$\lim_{x \to -2^-}\left(- \frac{x \left(\frac{x^{4}}{2 \left(4 - x^{2}\right)^{2}} + \frac{3 x^{2}}{2 \left(4 - x^{2}\right)} + 2\right)}{\sqrt{4 - x^{2}}}\right) = - \infty i$$
$$\lim_{x \to -2^+}\left(- \frac{x \left(\frac{x^{4}}{2 \left(4 - x^{2}\right)^{2}} + \frac{3 x^{2}}{2 \left(4 - x^{2}\right)} + 2\right)}{\sqrt{4 - x^{2}}}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -2$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 2^-}\left(- \frac{x \left(\frac{x^{4}}{2 \left(4 - x^{2}\right)^{2}} + \frac{3 x^{2}}{2 \left(4 - x^{2}\right)} + 2\right)}{\sqrt{4 - x^{2}}}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 2^+}\left(- \frac{x \left(\frac{x^{4}}{2 \left(4 - x^{2}\right)^{2}} + \frac{3 x^{2}}{2 \left(4 - x^{2}\right)} + 2\right)}{\sqrt{4 - x^{2}}}\right) = \infty i$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 2$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[0, \infty\right)$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 2$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(-1\right) x^{3}}{6 \sqrt{4 - x^{2}}} + \frac{x \sqrt{4 - x^{2}}}{3}\right) = - \infty i$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(-1\right) x^{3}}{6 \sqrt{4 - x^{2}}} + \frac{x \sqrt{4 - x^{2}}}{3}\right) = \infty i$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(-1\right) x^{3}}{6 \sqrt{4 - x^{2}}} + \frac{x \sqrt{4 - x^{2}}}{3}\right) = - \infty i$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(-1\right) x^{3}}{6 \sqrt{4 - x^{2}}} + \frac{x \sqrt{4 - x^{2}}}{3}\right) = \infty i$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (-x^3)/((6*sqrt(4 - x^2))) + (x*sqrt(4 - x^2))/3, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{\left(-1\right) x^{3}}{6 \sqrt{4 - x^{2}}} + \frac{x \sqrt{4 - x^{2}}}{3}}{x}\right) = \infty i$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{\left(-1\right) x^{3}}{6 \sqrt{4 - x^{2}}} + \frac{x \sqrt{4 - x^{2}}}{3}}{x}\right) = \infty i$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{\left(-1\right) x^{3}}{6 \sqrt{4 - x^{2}}} + \frac{x \sqrt{4 - x^{2}}}{3}}{x}\right) = \infty i$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{\left(-1\right) x^{3}}{6 \sqrt{4 - x^{2}}} + \frac{x \sqrt{4 - x^{2}}}{3}}{x}\right) = \infty i$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left(-1\right) x^{3}}{6 \sqrt{4 - x^{2}}} + \frac{x \sqrt{4 - x^{2}}}{3} = x^{3} \frac{1}{6 \sqrt{4 - x^{2}}} - \frac{x \sqrt{4 - x^{2}}}{3}$$
- No
$$\frac{\left(-1\right) x^{3}}{6 \sqrt{4 - x^{2}}} + \frac{x \sqrt{4 - x^{2}}}{3} = - x^{3} \frac{1}{6 \sqrt{4 - x^{2}}} + \frac{x \sqrt{4 - x^{2}}}{3}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left(-1\right) x^{3}}{6 \sqrt{4 - x^{2}}} + \frac{x \sqrt{4 - x^{2}}}{3} = x^{3} \frac{1}{6 \sqrt{4 - x^{2}}} - \frac{x \sqrt{4 - x^{2}}}{3}$$
- No
$$\frac{\left(-1\right) x^{3}}{6 \sqrt{4 - x^{2}}} + \frac{x \sqrt{4 - x^{2}}}{3} = - x^{3} \frac{1}{6 \sqrt{4 - x^{2}}} + \frac{x \sqrt{4 - x^{2}}}{3}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar