Sr Examen

Otras calculadoras

Trazado el gráfico de la función/ x^4+7x^3+1

Gráfico de la función y = x^4+7x^3+1

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        4      3    
f(x) = x  + 7*x  + 1
f(x)=(x4+7x3)+1f{\left(x \right)} = \left(x^{4} + 7 x^{3}\right) + 1 
f = x^4 + 7*x^3 + 1
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-2000020000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(x4+7x3)+1=0\left(x^{4} + 7 x^{3}\right) + 1 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−23193713144+49163+2193713144+49163+4942−74+−2193713144+49163−23193713144+49163+343423193713144+49163+2193713144+49163+494+4922x_{1} = - \frac{\sqrt{\frac{2}{3 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{193713}}{144} + \frac{49}{16}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{193713}}{144} + \frac{49}{16}} + \frac{49}{4}}}{2} - \frac{7}{4} + \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{193713}}{144} + \frac{49}{16}} - \frac{2}{3 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{193713}}{144} + \frac{49}{16}}} + \frac{343}{4 \sqrt{\frac{2}{3 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{193713}}{144} + \frac{49}{16}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{193713}}{144} + \frac{49}{16}} + \frac{49}{4}}} + \frac{49}{2}}}{2}
x2=−−2193713144+49163−23193713144+49163+343423193713144+49163+2193713144+49163+494+4922−23193713144+49163+2193713144+49163+4942−74x_{2} = - \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{193713}}{144} + \frac{49}{16}} - \frac{2}{3 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{193713}}{144} + \frac{49}{16}}} + \frac{343}{4 \sqrt{\frac{2}{3 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{193713}}{144} + \frac{49}{16}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{193713}}{144} + \frac{49}{16}} + \frac{49}{4}}} + \frac{49}{2}}}{2} - \frac{\sqrt{\frac{2}{3 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{193713}}{144} + \frac{49}{16}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{193713}}{144} + \frac{49}{16}} + \frac{49}{4}}}{2} - \frac{7}{4}
Solución numérica
x1=−6.9970808977027x_{1} = -6.9970808977027
x2=−0.536848683017408x_{2} = -0.536848683017408
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x^4 + 7*x^3 + 1.
(04+7⋅03)+1\left(0^{4} + 7 \cdot 0^{3}\right) + 1
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
4x3+21x2=04 x^{3} + 21 x^{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−214x_{1} = - \frac{21}{4}
x2=0x_{2} = 0
Signos de extremos en los puntos:
        -64571  
(-21/4, -------)
          256   

(0, 1)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−214x_{1} = - \frac{21}{4}
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[−214,∞)\left[- \frac{21}{4}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−214]\left(-\infty, - \frac{21}{4}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
6x(2x+7)=06 x \left(2 x + 7\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−72x_{1} = - \frac{7}{2}
x2=0x_{2} = 0

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−72]∪[0,∞)\left(-\infty, - \frac{7}{2}\right] \cup \left[0, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[−72,0]\left[- \frac{7}{2}, 0\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((x4+7x3)+1)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x^{4} + 7 x^{3}\right) + 1\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((x4+7x3)+1)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(x^{4} + 7 x^{3}\right) + 1\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^4 + 7*x^3 + 1, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((x4+7x3)+1x)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{4} + 7 x^{3}\right) + 1}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞((x4+7x3)+1x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{4} + 7 x^{3}\right) + 1}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(x4+7x3)+1=x4−7x3+1\left(x^{4} + 7 x^{3}\right) + 1 = x^{4} - 7 x^{3} + 1
- No
(x4+7x3)+1=−x4+7x3−1\left(x^{4} + 7 x^{3}\right) + 1 = - x^{4} + 7 x^{3} - 1
- No
es decir, función
no es
par ni impar
    © Sr Examen – Калькулятор