Sr Examen

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-x^4/4+x^2
Trazado el gráfico de la función/ -x^4/4+x^2

Gráfico de la función y = -x^4/4+x^2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
         4      
       -x      2
f(x) = ---- + x 
        4
f(x)=x2+(−1)x44f{\left(x \right)} = x^{2} + \frac{\left(-1\right) x^{4}}{4} 
f = x^2 + (-x^4)/4
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-25002500
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x2+(−1)x44=0x^{2} + \frac{\left(-1\right) x^{4}}{4} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−2x_{1} = -2
x2=0x_{2} = 0
x3=2x_{3} = 2
Solución numérica
x1=2x_{1} = 2
x2=0x_{2} = 0
x3=−2x_{3} = -2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (-x^4)/4 + x^2.
(−1)044+02\frac{\left(-1\right) 0^{4}}{4} + 0^{2}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−x3+2x=0- x^{3} + 2 x = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=−2x_{2} = - \sqrt{2}
x3=2x_{3} = \sqrt{2}
Signos de extremos en los puntos:
(0, 0)

    ___    
(-\/ 2, 1)

   ___    
(\/ 2, 1)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Puntos máximos de la función:
x1=−2x_{1} = - \sqrt{2}
x1=2x_{1} = \sqrt{2}
Decrece en los intervalos
(−∞,−2]∪[0,∞)\left(-\infty, - \sqrt{2}\right] \cup \left[0, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,0]∪[2,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\sqrt{2}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2−3x2=02 - 3 x^{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−63x_{1} = - \frac{\sqrt{6}}{3}
x2=63x_{2} = \frac{\sqrt{6}}{3}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−63,63]\left[- \frac{\sqrt{6}}{3}, \frac{\sqrt{6}}{3}\right]
Convexa en los intervalos
(−∞,−63]∪[63,∞)\left(-\infty, - \frac{\sqrt{6}}{3}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{6}}{3}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x2+(−1)x44)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(x^{2} + \frac{\left(-1\right) x^{4}}{4}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(x2+(−1)x44)=−∞\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} + \frac{\left(-1\right) x^{4}}{4}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (-x^4)/4 + x^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(x2+(−1)x44x)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} + \frac{\left(-1\right) x^{4}}{4}}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞(x2+(−1)x44x)=−∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + \frac{\left(-1\right) x^{4}}{4}}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x2+(−1)x44=x2+(−1)x44x^{2} + \frac{\left(-1\right) x^{4}}{4} = x^{2} + \frac{\left(-1\right) x^{4}}{4}
- Sí
x2+(−1)x44=−x2−(−1)x44x^{2} + \frac{\left(-1\right) x^{4}}{4} = - x^{2} - \frac{\left(-1\right) x^{4}}{4}
- No
es decir, función
es
par
Gráfico
Gráfico de la función y = -x^4/4+x^2
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