Sr Examen

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-1/3x^3+1/2x^2+1
Trazado el gráfico de la función/ -1/3x^3+1/2x^2+1

Gráfico de la función y = -1/3x^3+1/2x^2+1

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          3    2    
         x    x     
f(x) = - -- + -- + 1
         3    2
f(x)=(−x33+x22)+1f{\left(x \right)} = \left(- \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2}\right) + 1 
f = -x^3/3 + x^2/2 + 1
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-500500
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(−x33+x22)+1=0\left(- \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2}\right) + 1 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=14424+1383+12+424+1383x_{1} = \frac{1}{4 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{42}}{4} + \frac{13}{8}}} + \frac{1}{2} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{42}}{4} + \frac{13}{8}}
Solución numérica
x1=2.14937621491863x_{1} = 2.14937621491863
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en -x^3/3 + x^2/2 + 1.
(−033+022)+1\left(- \frac{0^{3}}{3} + \frac{0^{2}}{2}\right) + 1
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−x2+x=0- x^{2} + x = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=1x_{2} = 1
Signos de extremos en los puntos:
(0, 1)

(1, 7/6)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Puntos máximos de la función:
x1=1x_{1} = 1
Decrece en los intervalos
[0,1]\left[0, 1\right]
Crece en los intervalos
(−∞,0]∪[1,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[1, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
1−2x=01 - 2 x = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=12x_{1} = \frac{1}{2}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,12]\left(-\infty, \frac{1}{2}\right]
Convexa en los intervalos
[12,∞)\left[\frac{1}{2}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((−x33+x22)+1)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(- \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2}\right) + 1\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((−x33+x22)+1)=−∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(- \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2}\right) + 1\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función -x^3/3 + x^2/2 + 1, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((−x33+x22)+1x)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2}\right) + 1}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞((−x33+x22)+1x)=−∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2}\right) + 1}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(−x33+x22)+1=x33+x22+1\left(- \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2}\right) + 1 = \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} + 1
- No
(−x33+x22)+1=−x33−x22−1\left(- \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2}\right) + 1 = - \frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} - 1
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = -1/3x^3+1/2x^2+1
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