Sr Examen

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Gráfico de la función y = 1/2x^2+3x+1

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
        2          
       x           
f(x) = -- + 3*x + 1
       2           
f(x)=(x22+3x)+1f{\left(x \right)} = \left(\frac{x^{2}}{2} + 3 x\right) + 1
f = x^2/2 + 3*x + 1
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-100100
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(x22+3x)+1=0\left(\frac{x^{2}}{2} + 3 x\right) + 1 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=37x_{1} = -3 - \sqrt{7}
x2=3+7x_{2} = -3 + \sqrt{7}
Solución numérica
x1=5.64575131106459x_{1} = -5.64575131106459
x2=0.354248688935409x_{2} = -0.354248688935409
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x^2/2 + 3*x + 1.
(022+03)+1\left(\frac{0^{2}}{2} + 0 \cdot 3\right) + 1
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
x+3=0x + 3 = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=3x_{1} = -3
Signos de extremos en los puntos:
(-3, -7/2)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=3x_{1} = -3
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[3,)\left[-3, \infty\right)
Crece en los intervalos
(,3]\left(-\infty, -3\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
1=01 = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
limx((x22+3x)+1)=\lim_{x \to -\infty}\left(\left(\frac{x^{2}}{2} + 3 x\right) + 1\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
limx((x22+3x)+1)=\lim_{x \to \infty}\left(\left(\frac{x^{2}}{2} + 3 x\right) + 1\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^2/2 + 3*x + 1, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
limx((x22+3x)+1x)=\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(\frac{x^{2}}{2} + 3 x\right) + 1}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
limx((x22+3x)+1x)=\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\frac{x^{2}}{2} + 3 x\right) + 1}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(x22+3x)+1=x223x+1\left(\frac{x^{2}}{2} + 3 x\right) + 1 = \frac{x^{2}}{2} - 3 x + 1
- No
(x22+3x)+1=x22+3x1\left(\frac{x^{2}}{2} + 3 x\right) + 1 = - \frac{x^{2}}{2} + 3 x - 1
- No
es decir, función
no es
par ni impar