Sr Examen

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x*e^(-3*x)
Trazado el gráfico de la función/ x*e^(-3*x)

Gráfico de la función y = x*e^(-3*x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          -3*x
f(x) = x*E
f(x)=e−3xxf{\left(x \right)} = e^{- 3 x} x 
f = E^(-3*x)*x
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-100000000000000100000000000000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
e−3xx=0e^{- 3 x} x = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
Solución numérica
x1=87.2043037765913x_{1} = 87.2043037765913
x2=31.2623972438946x_{2} = 31.2623972438946
x3=17.3564052833832x_{3} = 17.3564052833832
x4=49.2279429446814x_{4} = 49.2279429446814
x5=45.2329802228957x_{5} = 45.2329802228957
x6=23.2988465601662x_{6} = 23.2988465601662
x7=39.2426980145042x_{7} = 39.2426980145042
x8=25.2871002989437x_{8} = 25.2871002989437
x9=43.2358867450193x_{9} = 43.2358867450193
x10=27.2774204616616x_{10} = 27.2774204616616
x11=65.2144013921226x_{11} = 65.2144013921226
x12=81.2064858323066x_{12} = 81.2064858323066
x13=61.2170741788082x_{13} = 61.2170741788082
x14=59.2185563042126x_{14} = 59.2185563042126
x15=93.2024157018913x_{15} = 93.2024157018913
x16=71.2109903191926x_{16} = 71.2109903191926
x17=89.2036448268923x_{17} = 89.2036448268923
x18=15.390222872394x_{18} = 15.390222872394
x19=69.212057413326x_{19} = 69.212057413326
x20=19.3319516261614x_{20} = 19.3319516261614
x21=99.2007659285103x_{21} = 99.2007659285103
x22=97.201292220781x_{22} = 97.201292220781
x23=11.5234519521829x_{23} = 11.5234519521829
x24=83.2057216827134x_{24} = 83.2057216827134
x25=33.2564490604922x_{25} = 33.2564490604922
x26=0x_{26} = 0
x27=13.4403396010341x_{27} = 13.4403396010341
x28=101.200261320377x_{28} = 101.200261320377
x29=95.2018416261232x_{29} = 95.2018416261232
x30=67.2131922172625x_{30} = 67.2131922172625
x31=63.2156925031801x_{31} = 63.2156925031801
x32=41.2391079532926x_{32} = 41.2391079532926
x33=51.225746017791x_{33} = 51.225746017791
x34=21.3134081848547x_{34} = 21.3134081848547
x35=79.207290703384x_{35} = 79.207290703384
x36=85.204995239083x_{36} = 85.204995239083
x37=103.199777082893x_{37} = 103.199777082893
x38=73.2099850466567x_{38} = 73.2099850466567
x39=29.2693033292853x_{39} = 29.2693033292853
x40=55.2218692119898x_{40} = 55.2218692119898
x41=57.220150259181x_{41} = 57.220150259181
x42=47.2303443480487x_{42} = 47.2303443480487
x43=91.2030161486236x_{43} = 91.2030161486236
x44=75.2090363714161x_{44} = 75.2090363714161
x45=105.199312006586x_{45} = 105.199312006586
x46=53.2237284855986x_{46} = 53.2237284855986
x47=107.198864975899x_{47} = 107.198864975899
x48=37.2467243212379x_{48} = 37.2467243212379
x49=77.2081396420156x_{49} = 77.2081396420156
x50=35.2512718048284x_{50} = 35.2512718048284
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x*E^(-3*x).
0e−00 e^{- 0}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−3xe−3x+e−3x=0- 3 x e^{- 3 x} + e^{- 3 x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=13x_{1} = \frac{1}{3}
Signos de extremos en los puntos:
       -1 
      e   
(1/3, ---)
       3


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=13x_{1} = \frac{1}{3}
Decrece en los intervalos
(−∞,13]\left(-\infty, \frac{1}{3}\right]
Crece en los intervalos
[13,∞)\left[\frac{1}{3}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
3(3x−2)e−3x=03 \left(3 x - 2\right) e^{- 3 x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=23x_{1} = \frac{2}{3}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[23,∞)\left[\frac{2}{3}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,23]\left(-\infty, \frac{2}{3}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(e−3xx)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(e^{- 3 x} x\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(e−3xx)=0\lim_{x \to \infty}\left(e^{- 3 x} x\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x*E^(-3*x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞e−3x=∞\lim_{x \to -\infty} e^{- 3 x} = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞e−3x=0\lim_{x \to \infty} e^{- 3 x} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
e−3xx=−xe3xe^{- 3 x} x = - x e^{3 x}
- No
e−3xx=xe3xe^{- 3 x} x = x e^{3 x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = x*e^(-3*x)
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