Sr Examen

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  • ¿Cómo usar?

  • Gráfico de la función y =:
  • 1/(x^2+4) 1/(x^2+4)
  • y^2 y^2
  • x^2*e^x x^2*e^x
  • sqrt(y) sqrt(y)
  • Integral de d{x}:
  • x^3-x^2-2x

  • Expresiones idénticas

  • x^ tres -x^ dos -2x
  • x al cubo menos x al cuadrado menos 2x
  • x en el grado tres menos x en el grado dos menos 2x
  • x3-x2-2x
  • x³-x²-2x
  • x en el grado 3-x en el grado 2-2x

  • Expresiones semejantes

  • x^3-x^2+2x
  • x^3+x^2-2x
Trazado el gráfico de la función/ x^3-x^2-2x

Gráfico de la función y = x^3-x^2-2x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        3    2      
f(x) = x  - x  - 2*x
f(x)=−2x+(x3−x2)f{\left(x \right)} = - 2 x + \left(x^{3} - x^{2}\right) 
f = -2*x + x^3 - x^2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-20002000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
−2x+(x3−x2)=0- 2 x + \left(x^{3} - x^{2}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−1x_{1} = -1
x2=0x_{2} = 0
x3=2x_{3} = 2
Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
x2=2x_{2} = 2
x3=−1x_{3} = -1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x^3 - x^2 - 2*x.
(03−02)−0\left(0^{3} - 0^{2}\right) - 0
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
3x2−2x−2=03 x^{2} - 2 x - 2 = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=13−73x_{1} = \frac{1}{3} - \frac{\sqrt{7}}{3}
x2=13+73x_{2} = \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{7}}{3}
Signos de extremos en los puntos:
                             3              2           
       ___        /      ___\    /      ___\        ___ 
 1   \/ 7     2   |1   \/ 7 |    |1   \/ 7 |    2*\/ 7  
(- - -----, - - + |- - -----|  - |- - -----|  + -------)
 3     3      3   \3     3  /    \3     3  /       3    

                             3              2           
       ___        /      ___\    /      ___\        ___ 
 1   \/ 7     2   |1   \/ 7 |    |1   \/ 7 |    2*\/ 7  
(- + -----, - - + |- + -----|  - |- + -----|  - -------)
 3     3      3   \3     3  /    \3     3  /       3


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=13+73x_{1} = \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{7}}{3}
Puntos máximos de la función:
x1=13−73x_{1} = \frac{1}{3} - \frac{\sqrt{7}}{3}
Decrece en los intervalos
(−∞,13−73]∪[13+73,∞)\left(-\infty, \frac{1}{3} - \frac{\sqrt{7}}{3}\right] \cup \left[\frac{1}{3} + \frac{\sqrt{7}}{3}, \infty\right)
Crece en los intervalos
[13−73,13+73]\left[\frac{1}{3} - \frac{\sqrt{7}}{3}, \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{7}}{3}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(3x−1)=02 \left(3 x - 1\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=13x_{1} = \frac{1}{3}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[13,∞)\left[\frac{1}{3}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,13]\left(-\infty, \frac{1}{3}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(−2x+(x3−x2))=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(- 2 x + \left(x^{3} - x^{2}\right)\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(−2x+(x3−x2))=∞\lim_{x \to \infty}\left(- 2 x + \left(x^{3} - x^{2}\right)\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^3 - x^2 - 2*x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(−2x+(x3−x2)x)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- 2 x + \left(x^{3} - x^{2}\right)}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞(−2x+(x3−x2)x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 2 x + \left(x^{3} - x^{2}\right)}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
−2x+(x3−x2)=−x3−x2+2x- 2 x + \left(x^{3} - x^{2}\right) = - x^{3} - x^{2} + 2 x
- No
−2x+(x3−x2)=x3+x2−2x- 2 x + \left(x^{3} - x^{2}\right) = x^{3} + x^{2} - 2 x
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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