Sr Examen

Gráfico de la función y = ree^z+imz

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

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Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
         z           
f(z) = re (E) + im(z)
$$f{\left(z \right)} = \left(\operatorname{re}{\left(e\right)}\right)^{z} + \operatorname{im}{\left(z\right)}$$
f = re(E)^z + im(z)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje Z con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(\operatorname{re}{\left(e\right)}\right)^{z} + \operatorname{im}{\left(z\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje Z
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando z es igual a 0:
sustituimos z = 0 en re(E)^z + im(z).
$$\operatorname{im}{\left(0\right)} + \left(\operatorname{re}{\left(e\right)}\right)^{0}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = 1$$
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d z} f{\left(z \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d z} f{\left(z \right)} = $$
primera derivada
$$\log{\left(\operatorname{re}{\left(e\right)} \right)} \left(\operatorname{re}{\left(e\right)}\right)^{z} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d z^{2}} f{\left(z \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d z^{2}} f{\left(z \right)} = $$
segunda derivada
$$\log{\left(\operatorname{re}{\left(e\right)} \right)}^{2} \left(\operatorname{re}{\left(e\right)}\right)^{z} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con z->+oo y z->-oo
$$\lim_{z \to -\infty}\left(\left(\operatorname{re}{\left(e\right)}\right)^{z} + \operatorname{im}{\left(z\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{z \to \infty}\left(\left(\operatorname{re}{\left(e\right)}\right)^{z} + \operatorname{im}{\left(z\right)}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función re(E)^z + im(z), dividida por z con z->+oo y z ->-oo
$$\lim_{z \to -\infty}\left(\frac{\left(\operatorname{re}{\left(e\right)}\right)^{z} + \operatorname{im}{\left(z\right)}}{z}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{z \to \infty}\left(\frac{\left(\operatorname{re}{\left(e\right)}\right)^{z} + \operatorname{im}{\left(z\right)}}{z}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-z) и f = -f(-z).
Pues, comprobamos:
$$\left(\operatorname{re}{\left(e\right)}\right)^{z} + \operatorname{im}{\left(z\right)} = \left(\operatorname{re}{\left(e\right)}\right)^{- z}$$
- No
$$\left(\operatorname{re}{\left(e\right)}\right)^{z} + \operatorname{im}{\left(z\right)} = - \left(\operatorname{re}{\left(e\right)}\right)^{- z}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar