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Trazado el gráfico de la función/ ln(1/x^2-4x+8)

Gráfico de la función y = ln(1/x^2-4x+8)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          /1           \
f(x) = log|-- - 4*x + 8|
          | 2          |
          \x           /
f(x)=log⁡((−4x+1x2)+8)f{\left(x \right)} = \log{\left(\left(- 4 x + \frac{1}{x^{2}}\right) + 8 \right)} 
f = log(-4*x + 1/(x^2) + 8)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-1010
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
log⁡((−4x+1x2)+8)=0\log{\left(\left(- 4 x + \frac{1}{x^{2}}\right) + 8 \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=1.82505635184213x_{1} = 1.82505635184213
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log(1/(x^2) - 4*x + 8).
log⁡((102−0)+8)\log{\left(\left(\frac{1}{0^{2}} - 0\right) + 8 \right)}
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−4−2xx2(−4x+1x2)+8=0\frac{-4 - \frac{2}{x x^{2}}}{\left(- 4 x + \frac{1}{x^{2}}\right) + 8} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−2232x_{1} = - \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2}
Signos de extremos en los puntos:
   2/3                   
 -2         /       2/3\ 
(------, log\8 + 3*2   /)
   2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−2232x_{1} = - \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2}
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[−2232,∞)\left[- \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−2232]\left(-\infty, - \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(−2(2+1x3)2−4x+8+1x2+3x4)−4x+8+1x2=0\frac{2 \left(- \frac{2 \left(2 + \frac{1}{x^{3}}\right)^{2}}{- 4 x + 8 + \frac{1}{x^{2}}} + \frac{3}{x^{4}}\right)}{- 4 x + 8 + \frac{1}{x^{2}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−1.63420998642385x_{1} = -1.63420998642385
x2=0.941747907604632x_{2} = 0.941747907604632
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=0x_{1} = 0

lim⁡x→0−(2(−2(2+1x3)2−4x+8+1x2+3x4)−4x+8+1x2)=∞\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2 \left(- \frac{2 \left(2 + \frac{1}{x^{3}}\right)^{2}}{- 4 x + 8 + \frac{1}{x^{2}}} + \frac{3}{x^{4}}\right)}{- 4 x + 8 + \frac{1}{x^{2}}}\right) = \infty
lim⁡x→0+(2(−2(2+1x3)2−4x+8+1x2+3x4)−4x+8+1x2)=∞\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \left(- \frac{2 \left(2 + \frac{1}{x^{3}}\right)^{2}}{- 4 x + 8 + \frac{1}{x^{2}}} + \frac{3}{x^{4}}\right)}{- 4 x + 8 + \frac{1}{x^{2}}}\right) = \infty
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−1.63420998642385,0.941747907604632]\left[-1.63420998642385, 0.941747907604632\right]
Convexa en los intervalos
(−∞,−1.63420998642385]∪[0.941747907604632,∞)\left(-\infty, -1.63420998642385\right] \cup \left[0.941747907604632, \infty\right)
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞log⁡((−4x+1x2)+8)=∞\lim_{x \to -\infty} \log{\left(\left(- 4 x + \frac{1}{x^{2}}\right) + 8 \right)} = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞log⁡((−4x+1x2)+8)=∞\lim_{x \to \infty} \log{\left(\left(- 4 x + \frac{1}{x^{2}}\right) + 8 \right)} = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(1/(x^2) - 4*x + 8), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡((−4x+1x2)+8)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(\left(- 4 x + \frac{1}{x^{2}}\right) + 8 \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(log⁡((−4x+1x2)+8)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\left(- 4 x + \frac{1}{x^{2}}\right) + 8 \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
log⁡((−4x+1x2)+8)=log⁡(4x+8+1x2)\log{\left(\left(- 4 x + \frac{1}{x^{2}}\right) + 8 \right)} = \log{\left(4 x + 8 + \frac{1}{x^{2}} \right)}
- No
log⁡((−4x+1x2)+8)=−log⁡(4x+8+1x2)\log{\left(\left(- 4 x + \frac{1}{x^{2}}\right) + 8 \right)} = - \log{\left(4 x + 8 + \frac{1}{x^{2}} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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