Sr Examen

Otras calculadoras


(x-2)/(x^2-1)
  • ¿Cómo usar?

  • Gráfico de la función y =:
  • x^2+x+1 x^2+x+1
  • y=x^3-3x^2+4 y=x^3-3x^2+4
  • e^x/x e^x/x
  • 5-x 5-x
  • Derivada de:
  • (x-2)/(x^2-1) (x-2)/(x^2-1)
  • Expresiones idénticas

  • (x- dos)/(x^ dos - uno)
  • (x menos 2) dividir por (x al cuadrado menos 1)
  • (x menos dos) dividir por (x en el grado dos menos uno)
  • (x-2)/(x2-1)
  • x-2/x2-1
  • (x-2)/(x²-1)
  • (x-2)/(x en el grado 2-1)
  • x-2/x^2-1
  • (x-2) dividir por (x^2-1)
  • Expresiones semejantes

  • (x-2)/(x^2+1)
  • (x+2)/(x^2-1)

Gráfico de la función y = (x-2)/(x^2-1)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
       x - 2 
f(x) = ------
        2    
       x  - 1
$$f{\left(x \right)} = \frac{x - 2}{x^{2} - 1}$$
f = (x - 2)/(x^2 - 1)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x - 2}{x^{2} - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = 2$$
Solución numérica
$$x_{1} = 2$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x - 2)/(x^2 - 1).
$$- \frac{2}{-1 + 0^{2}}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = 2$$
Punto:
(0, 2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{2 x \left(x - 2\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2} - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 2 - \sqrt{3}$$
$$x_{2} = \sqrt{3} + 2$$
Signos de extremos en los puntos:
                    ___       
       ___       -\/ 3        
(2 - \/ 3, -----------------)
                            2 
                 /      ___\  
            -1 + \2 - \/ 3 /  

                    ___       
       ___        \/ 3        
(2 + \/ 3, -----------------)
                            2 
                 /      ___\  
            -1 + \2 + \/ 3 /  


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 2 - \sqrt{3}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \sqrt{3} + 2$$
Decrece en los intervalos
$$\left[2 - \sqrt{3}, \sqrt{3} + 2\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 2 - \sqrt{3}\right] \cup \left[\sqrt{3} + 2, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(- 2 x + \left(x - 2\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right)\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \sqrt[3]{3} + 2 + 3^{\frac{2}{3}}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$

$$\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{2 \left(- 2 x + \left(x - 2\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right)\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{2 \left(- 2 x + \left(x - 2\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right)\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -1$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 \left(- 2 x + \left(x - 2\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right)\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 \left(- 2 x + \left(x - 2\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right)\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 1$$
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[\sqrt[3]{3} + 2 + 3^{\frac{2}{3}}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, \sqrt[3]{3} + 2 + 3^{\frac{2}{3}}\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x - 2}{x^{2} - 1}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - 2}{x^{2} - 1}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x - 2)/(x^2 - 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x - 2}{x \left(x^{2} - 1\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - 2}{x \left(x^{2} - 1\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{x - 2}{x^{2} - 1} = \frac{- x - 2}{x^{2} - 1}$$
- No
$$\frac{x - 2}{x^{2} - 1} = - \frac{- x - 2}{x^{2} - 1}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = (x-2)/(x^2-1)