Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada$$- \frac{2 x \left(x - 2\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2} + 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = 2 - \sqrt{5}$$
$$x_{2} = 2 + \sqrt{5}$$
Signos de extremos en los puntos:
___
___ -\/ 5
(2 - \/ 5, ----------------)
2
/ ___\
1 + \2 - \/ 5 /
___
___ \/ 5
(2 + \/ 5, ----------------)
2
/ ___\
1 + \2 + \/ 5 /
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 2 - \sqrt{5}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 2 + \sqrt{5}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[2 - \sqrt{5}, 2 + \sqrt{5}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 2 - \sqrt{5}\right] \cup \left[2 + \sqrt{5}, \infty\right)$$