Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada$$\frac{2 x + 6}{x - 1} - \frac{\left(x^{2} + 6 x\right) + 8}{\left(x - 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = 1 - \sqrt{15}$$
$$x_{2} = 1 + \sqrt{15}$$
Signos de extremos en los puntos:
/ 2 \
____ | / ____\ ____|
____ -\/ 15 *\14 + \1 - \/ 15 / - 6*\/ 15 /
(1 - \/ 15, ----------------------------------------)
15
/ 2 \
____ | / ____\ ____|
____ \/ 15 *\14 + \1 + \/ 15 / + 6*\/ 15 /
(1 + \/ 15, --------------------------------------)
15
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 1 + \sqrt{15}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 1 - \sqrt{15}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, 1 - \sqrt{15}\right] \cup \left[1 + \sqrt{15}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[1 - \sqrt{15}, 1 + \sqrt{15}\right]$$