Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ sqrt((x^3-2x^2)/(x-3))

Gráfico de la función y = sqrt((x^3-2x^2)/(x-3))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
            ___________
           /  3      2 
          /  x  - 2*x  
f(x) =   /   --------- 
       \/      x - 3
f(x)=x3−2x2x−3f{\left(x \right)} = \sqrt{\frac{x^{3} - 2 x^{2}}{x - 3}} 
f = sqrt((x^3 - 2*x^2)/(x - 3))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010020
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=3x_{1} = 3
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x3−2x2x−3=0\sqrt{\frac{x^{3} - 2 x^{2}}{x - 3}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=23−2−133+2(−1)233x_{1} = \frac{2}{3} - \frac{2 \sqrt[3]{-1}}{3} + \frac{2 \left(-1\right)^{\frac{2}{3}}}{3}
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sqrt((x^3 - 2*x^2)/(x - 3)).
03−2⋅02−3\sqrt{\frac{0^{3} - 2 \cdot 0^{2}}{-3}}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
x3−2x2x−3(x−3)(3x2−4x2(x−3)−x3−2x22(x−3)2)x3−2x2=0\frac{\sqrt{\frac{x^{3} - 2 x^{2}}{x - 3}} \left(x - 3\right) \left(\frac{3 x^{2} - 4 x}{2 \left(x - 3\right)} - \frac{x^{3} - 2 x^{2}}{2 \left(x - 3\right)^{2}}\right)}{x^{3} - 2 x^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=32x_{1} = \frac{3}{2}
x2=4x_{2} = 4
Signos de extremos en los puntos:
        ___ 
      \/ 3  
(3/2, -----)
        2   

        ___ 
(4, 4*\/ 2 )


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=4x_{1} = 4
Puntos máximos de la función:
x1=32x_{1} = \frac{3}{2}
Decrece en los intervalos
(−∞,32]∪[4,∞)\left(-\infty, \frac{3}{2}\right] \cup \left[4, \infty\right)
Crece en los intervalos
[32,4]\left[\frac{3}{2}, 4\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
x−2x−3(3x−x(x−2)x−3−42(x−3)+x2(x−2)(x−3)2+3x−x(3x−4)x−3−2x−(3x−4)(3x−x(x−2)x−3−4)2x(x−2)+(3x−x(x−2)x−3−4)24x(x−2))∣x∣x(x−2)=0\frac{\sqrt{\frac{x - 2}{x - 3}} \left(\frac{3 x - \frac{x \left(x - 2\right)}{x - 3} - 4}{2 \left(x - 3\right)} + \frac{\frac{x^{2} \left(x - 2\right)}{\left(x - 3\right)^{2}} + 3 x - \frac{x \left(3 x - 4\right)}{x - 3} - 2}{x} - \frac{\left(3 x - 4\right) \left(3 x - \frac{x \left(x - 2\right)}{x - 3} - 4\right)}{2 x \left(x - 2\right)} + \frac{\left(3 x - \frac{x \left(x - 2\right)}{x - 3} - 4\right)^{2}}{4 x \left(x - 2\right)}\right) \left|{x}\right|}{x \left(x - 2\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=2411x_{1} = \frac{24}{11}
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=3x_{1} = 3

lim⁡x→3−(x−2x−3(3x−x(x−2)x−3−42(x−3)+x2(x−2)(x−3)2+3x−x(3x−4)x−3−2x−(3x−4)(3x−x(x−2)x−3−4)2x(x−2)+(3x−x(x−2)x−3−4)24x(x−2))∣x∣x(x−2))=∞i\lim_{x \to 3^-}\left(\frac{\sqrt{\frac{x - 2}{x - 3}} \left(\frac{3 x - \frac{x \left(x - 2\right)}{x - 3} - 4}{2 \left(x - 3\right)} + \frac{\frac{x^{2} \left(x - 2\right)}{\left(x - 3\right)^{2}} + 3 x - \frac{x \left(3 x - 4\right)}{x - 3} - 2}{x} - \frac{\left(3 x - 4\right) \left(3 x - \frac{x \left(x - 2\right)}{x - 3} - 4\right)}{2 x \left(x - 2\right)} + \frac{\left(3 x - \frac{x \left(x - 2\right)}{x - 3} - 4\right)^{2}}{4 x \left(x - 2\right)}\right) \left|{x}\right|}{x \left(x - 2\right)}\right) = \infty i
lim⁡x→3+(x−2x−3(3x−x(x−2)x−3−42(x−3)+x2(x−2)(x−3)2+3x−x(3x−4)x−3−2x−(3x−4)(3x−x(x−2)x−3−4)2x(x−2)+(3x−x(x−2)x−3−4)24x(x−2))∣x∣x(x−2))=∞\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{\sqrt{\frac{x - 2}{x - 3}} \left(\frac{3 x - \frac{x \left(x - 2\right)}{x - 3} - 4}{2 \left(x - 3\right)} + \frac{\frac{x^{2} \left(x - 2\right)}{\left(x - 3\right)^{2}} + 3 x - \frac{x \left(3 x - 4\right)}{x - 3} - 2}{x} - \frac{\left(3 x - 4\right) \left(3 x - \frac{x \left(x - 2\right)}{x - 3} - 4\right)}{2 x \left(x - 2\right)} + \frac{\left(3 x - \frac{x \left(x - 2\right)}{x - 3} - 4\right)^{2}}{4 x \left(x - 2\right)}\right) \left|{x}\right|}{x \left(x - 2\right)}\right) = \infty
- los límites no son iguales, signo
x1=3x_{1} = 3
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
Asíntotas verticales
Hay:
x1=3x_{1} = 3
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞x3−2x2x−3=∞\lim_{x \to -\infty} \sqrt{\frac{x^{3} - 2 x^{2}}{x - 3}} = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞x3−2x2x−3=∞\lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{x^{3} - 2 x^{2}}{x - 3}} = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sqrt((x^3 - 2*x^2)/(x - 3)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(x3−2x2x−3x)=−1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{\frac{x^{3} - 2 x^{2}}{x - 3}}}{x}\right) = -1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=−xy = - x
lim⁡x→∞(x3−2x2x−3x)=1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{\frac{x^{3} - 2 x^{2}}{x - 3}}}{x}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xy = x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x3−2x2x−3=−x3−2x2−x−3\sqrt{\frac{x^{3} - 2 x^{2}}{x - 3}} = \sqrt{\frac{- x^{3} - 2 x^{2}}{- x - 3}}
- No
x3−2x2x−3=−−x3−2x2−x−3\sqrt{\frac{x^{3} - 2 x^{2}}{x - 3}} = - \sqrt{\frac{- x^{3} - 2 x^{2}}{- x - 3}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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