Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
-x^2-2*x+4
-
(x^2+1)(x-1)
-
-x^2*(1-x^4)/(-1-x^4)
-
(x+1)*(7-x)^(1/2)
-
Expresiones idénticas
- sqrt((x^ tres - dos x^2)/(x- tres))
- raíz cuadrada de ((x al cubo menos 2x al cuadrado ) dividir por (x menos 3))
- raíz cuadrada de ((x en el grado tres menos dos x al cuadrado ) dividir por (x menos tres))
- √((x^3-2x^2)/(x-3))
- sqrt((x3-2x2)/(x-3))
- sqrtx3-2x2/x-3
- sqrt((x³-2x²)/(x-3))
- sqrt((x en el grado 3-2x en el grado 2)/(x-3))
- sqrtx^3-2x^2/x-3
- sqrt((x^3-2x^2) dividir por (x-3))
-
Expresiones semejantes
- sqrt((x^3+2x^2)/(x-3))
- sqrt((x^3-2x^2)/(x+3))
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(5*x)-x^2
- sqrt(x^2-1)/2
- sqrt(|x|)-2-1
- sqrt(25-x^2)+7/(x-5)
- sqrt(x)*exp^(1/(x^2+3x-4))
Gráfico de la función y = sqrt((x^3-2x^2)/(x-3))
Solución
Ha introducido
[src]
___________
/ 3 2
/ x - 2*x
f(x) = / ---------
\/ x - 3
$$f{\left(x \right)} = \sqrt{\frac{x^{3} - 2 x^{2}}{x - 3}}$$
f = sqrt((x^3 - 2*x^2)/(x - 3))
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 3$$
$$x_{1} = 3$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\sqrt{\frac{x^{3} - 2 x^{2}}{x - 3}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = \frac{2}{3} - \frac{2 \sqrt[3]{-1}}{3} + \frac{2 \left(-1\right)^{\frac{2}{3}}}{3}$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\sqrt{\frac{x^{3} - 2 x^{2}}{x - 3}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = \frac{2}{3} - \frac{2 \sqrt[3]{-1}}{3} + \frac{2 \left(-1\right)^{\frac{2}{3}}}{3}$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\sqrt{\frac{x^{3} - 2 x^{2}}{x - 3}} \left(x - 3\right) \left(\frac{3 x^{2} - 4 x}{2 \left(x - 3\right)} - \frac{x^{3} - 2 x^{2}}{2 \left(x - 3\right)^{2}}\right)}{x^{3} - 2 x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{3}{2}$$
$$x_{2} = 4$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 4$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \frac{3}{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{3}{2}\right] \cup \left[4, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[\frac{3}{2}, 4\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\sqrt{\frac{x^{3} - 2 x^{2}}{x - 3}} \left(x - 3\right) \left(\frac{3 x^{2} - 4 x}{2 \left(x - 3\right)} - \frac{x^{3} - 2 x^{2}}{2 \left(x - 3\right)^{2}}\right)}{x^{3} - 2 x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{3}{2}$$
$$x_{2} = 4$$
Signos de extremos en los puntos:
___
\/ 3
(3/2, -----)
2 ___ (4, 4*\/ 2 )
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 4$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \frac{3}{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{3}{2}\right] \cup \left[4, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[\frac{3}{2}, 4\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{\sqrt{\frac{x - 2}{x - 3}} \left(\frac{3 x - \frac{x \left(x - 2\right)}{x - 3} - 4}{2 \left(x - 3\right)} + \frac{\frac{x^{2} \left(x - 2\right)}{\left(x - 3\right)^{2}} + 3 x - \frac{x \left(3 x - 4\right)}{x - 3} - 2}{x} - \frac{\left(3 x - 4\right) \left(3 x - \frac{x \left(x - 2\right)}{x - 3} - 4\right)}{2 x \left(x - 2\right)} + \frac{\left(3 x - \frac{x \left(x - 2\right)}{x - 3} - 4\right)^{2}}{4 x \left(x - 2\right)}\right) \left|{x}\right|}{x \left(x - 2\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{24}{11}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 3$$
$$\lim_{x \to 3^-}\left(\frac{\sqrt{\frac{x - 2}{x - 3}} \left(\frac{3 x - \frac{x \left(x - 2\right)}{x - 3} - 4}{2 \left(x - 3\right)} + \frac{\frac{x^{2} \left(x - 2\right)}{\left(x - 3\right)^{2}} + 3 x - \frac{x \left(3 x - 4\right)}{x - 3} - 2}{x} - \frac{\left(3 x - 4\right) \left(3 x - \frac{x \left(x - 2\right)}{x - 3} - 4\right)}{2 x \left(x - 2\right)} + \frac{\left(3 x - \frac{x \left(x - 2\right)}{x - 3} - 4\right)^{2}}{4 x \left(x - 2\right)}\right) \left|{x}\right|}{x \left(x - 2\right)}\right) = \infty i$$
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{\sqrt{\frac{x - 2}{x - 3}} \left(\frac{3 x - \frac{x \left(x - 2\right)}{x - 3} - 4}{2 \left(x - 3\right)} + \frac{\frac{x^{2} \left(x - 2\right)}{\left(x - 3\right)^{2}} + 3 x - \frac{x \left(3 x - 4\right)}{x - 3} - 2}{x} - \frac{\left(3 x - 4\right) \left(3 x - \frac{x \left(x - 2\right)}{x - 3} - 4\right)}{2 x \left(x - 2\right)} + \frac{\left(3 x - \frac{x \left(x - 2\right)}{x - 3} - 4\right)^{2}}{4 x \left(x - 2\right)}\right) \left|{x}\right|}{x \left(x - 2\right)}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 3$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{\sqrt{\frac{x - 2}{x - 3}} \left(\frac{3 x - \frac{x \left(x - 2\right)}{x - 3} - 4}{2 \left(x - 3\right)} + \frac{\frac{x^{2} \left(x - 2\right)}{\left(x - 3\right)^{2}} + 3 x - \frac{x \left(3 x - 4\right)}{x - 3} - 2}{x} - \frac{\left(3 x - 4\right) \left(3 x - \frac{x \left(x - 2\right)}{x - 3} - 4\right)}{2 x \left(x - 2\right)} + \frac{\left(3 x - \frac{x \left(x - 2\right)}{x - 3} - 4\right)^{2}}{4 x \left(x - 2\right)}\right) \left|{x}\right|}{x \left(x - 2\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{24}{11}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 3$$
$$\lim_{x \to 3^-}\left(\frac{\sqrt{\frac{x - 2}{x - 3}} \left(\frac{3 x - \frac{x \left(x - 2\right)}{x - 3} - 4}{2 \left(x - 3\right)} + \frac{\frac{x^{2} \left(x - 2\right)}{\left(x - 3\right)^{2}} + 3 x - \frac{x \left(3 x - 4\right)}{x - 3} - 2}{x} - \frac{\left(3 x - 4\right) \left(3 x - \frac{x \left(x - 2\right)}{x - 3} - 4\right)}{2 x \left(x - 2\right)} + \frac{\left(3 x - \frac{x \left(x - 2\right)}{x - 3} - 4\right)^{2}}{4 x \left(x - 2\right)}\right) \left|{x}\right|}{x \left(x - 2\right)}\right) = \infty i$$
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{\sqrt{\frac{x - 2}{x - 3}} \left(\frac{3 x - \frac{x \left(x - 2\right)}{x - 3} - 4}{2 \left(x - 3\right)} + \frac{\frac{x^{2} \left(x - 2\right)}{\left(x - 3\right)^{2}} + 3 x - \frac{x \left(3 x - 4\right)}{x - 3} - 2}{x} - \frac{\left(3 x - 4\right) \left(3 x - \frac{x \left(x - 2\right)}{x - 3} - 4\right)}{2 x \left(x - 2\right)} + \frac{\left(3 x - \frac{x \left(x - 2\right)}{x - 3} - 4\right)^{2}}{4 x \left(x - 2\right)}\right) \left|{x}\right|}{x \left(x - 2\right)}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 3$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 3$$
$$x_{1} = 3$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \sqrt{\frac{x^{3} - 2 x^{2}}{x - 3}} = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{x^{3} - 2 x^{2}}{x - 3}} = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \sqrt{\frac{x^{3} - 2 x^{2}}{x - 3}} = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{x^{3} - 2 x^{2}}{x - 3}} = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sqrt((x^3 - 2*x^2)/(x - 3)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{\frac{x^{3} - 2 x^{2}}{x - 3}}}{x}\right) = -1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = - x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{\frac{x^{3} - 2 x^{2}}{x - 3}}}{x}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{\frac{x^{3} - 2 x^{2}}{x - 3}}}{x}\right) = -1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = - x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{\frac{x^{3} - 2 x^{2}}{x - 3}}}{x}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = x$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\sqrt{\frac{x^{3} - 2 x^{2}}{x - 3}} = \sqrt{\frac{- x^{3} - 2 x^{2}}{- x - 3}}$$
- No
$$\sqrt{\frac{x^{3} - 2 x^{2}}{x - 3}} = - \sqrt{\frac{- x^{3} - 2 x^{2}}{- x - 3}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\sqrt{\frac{x^{3} - 2 x^{2}}{x - 3}} = \sqrt{\frac{- x^{3} - 2 x^{2}}{- x - 3}}$$
- No
$$\sqrt{\frac{x^{3} - 2 x^{2}}{x - 3}} = - \sqrt{\frac{- x^{3} - 2 x^{2}}{- x - 3}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar