Sr Examen

Otras calculadoras

Trazado el gráfico de la función/ 1/(1-exp(x/(1-x)))

Gráfico de la función y = 1/(1-exp(x/(1-x)))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           1     
f(x) = ----------
              x  
            -----
            1 - x
       1 - e
f(x)=11−ex1−xf{\left(x \right)} = \frac{1}{1 - e^{\frac{x}{1 - x}}} 
f = 1/(1 - exp(x/(1 - x)))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-5050
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
x2=1x_{2} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
11−ex1−x=0\frac{1}{1 - e^{\frac{x}{1 - x}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 1/(1 - exp(x/(1 - x))).
11−e01−0\frac{1}{1 - e^{\frac{0}{1 - 0}}}
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(x(1−x)2+11−x)ex1−x(1−ex1−x)2=0\frac{\left(\frac{x}{\left(1 - x\right)^{2}} + \frac{1}{1 - x}\right) e^{\frac{x}{1 - x}}}{\left(1 - e^{\frac{x}{1 - x}}\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(xx−1−1)(xx−1−3+2(xx−1−1)e−xx−11−e−xx−1)e−xx−1(1−e−xx−1)2(x−1)2=0\frac{\left(\frac{x}{x - 1} - 1\right) \left(\frac{x}{x - 1} - 3 + \frac{2 \left(\frac{x}{x - 1} - 1\right) e^{- \frac{x}{x - 1}}}{1 - e^{- \frac{x}{x - 1}}}\right) e^{- \frac{x}{x - 1}}}{\left(1 - e^{- \frac{x}{x - 1}}\right)^{2} \left(x - 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−21091.4683053525x_{1} = -21091.4683053525
x2=37395.8447387655x_{2} = 37395.8447387655
x3=−16006.3381693497x_{3} = -16006.3381693497
x4=−19396.3972436736x_{4} = -19396.3972436736
x5=33157.9522487027x_{5} = 33157.9522487027
x6=42481.3502881864x_{6} = 42481.3502881864
x7=−39738.0080456151x_{7} = -39738.0080456151
x8=30615.2343279041x_{8} = 30615.2343279041
x9=23834.7556115317x_{9} = 23834.7556115317
x10=−38042.8381933901x_{10} = -38042.8381933901
x11=29767.6653883626x_{11} = 29767.6653883626
x12=−40585.5941575219x_{12} = -40585.5941575219
x13=−31262.1995945448x_{13} = -31262.1995945448
x14=13664.740750237x_{14} = 13664.740750237
x15=16207.0912694698x_{15} = 16207.0912694698
x16=12817.3341173153x_{16} = 12817.3341173153
x17=−30414.6257311619x_{17} = -30414.6257311619
x18=−41433.1809965303x_{18} = -41433.1809965303
x19=31462.8052201748x_{19} = 31462.8052201748
x20=−23634.1106143325x_{20} = -23634.1106143325
x21=−42280.7685197461x_{21} = -42280.7685197461
x22=14512.1718483512x_{22} = 14512.1718483512
x23=−34652.5095618826x_{23} = -34652.5095618826
x24=20444.6083005104x_{24} = 20444.6083005104
x25=−21939.0115114663x_{25} = -21939.0115114663
x26=36548.2637982729x_{26} = 36548.2637982729
x27=40786.1783820866x_{27} = 40786.1783820866
x28=38243.4267345355x_{28} = 38243.4267345355
x29=11969.9575285641x_{29} = 11969.9575285641
x30=39091.0097154665x_{30} = 39091.0097154665
x31=18749.5728872212x_{31} = 18749.5728872212
x32=−32957.3518939567x_{32} = -32957.3518939567
x33=−32109.7750213722x_{33} = -32109.7750213722
x34=−33804.9301061331x_{34} = -33804.9301061331
x35=−18548.8707313705x_{35} = -18548.8707313705
x36=−26176.7850194349x_{36} = -26176.7850194349
x37=25529.8570150063x_{37} = 25529.8570150063
x38=17902.068061878x_{38} = 17902.068061878
x39=−28719.48323301x_{39} = -28719.48323301
x40=26377.4130432904x_{40} = 26377.4130432904
x41=15359.6231333535x_{41} = 15359.6231333535
x42=41633.7639554307x_{42} = 41633.7639554307
x43=−13463.9053305381x_{43} = -13463.9053305381
x44=32310.3779074915x_{44} = 32310.3779074915
x45=−36347.6718638145x_{45} = -36347.6718638145
x46=34853.1053985118x_{46} = 34853.1053985118
x47=21292.1367552067x_{47} = 21292.1367552067
x48=27224.972166647x_{48} = 27224.972166647
x49=−12616.4596610214x_{49} = -12616.4596610214
x50=28072.5340962855x_{50} = 28072.5340962855
x51=−38890.4227073655x_{51} = -38890.4227073655
x52=−11769.0353381193x_{52} = -11769.0353381193
x53=22987.2110510351x_{53} = 22987.2110510351
x54=−37195.25455882x_{54} = -37195.25455882
x55=24682.304411617x_{55} = 24682.304411617
x56=−15158.8471256347x_{56} = -15158.8471256347
x57=−35500.0901741485x_{57} = -35500.0901741485
x58=19597.0866877368x_{58} = 19597.0866877368
x59=−27871.91490713x_{59} = -27871.91490713
x60=28920.0985782589x_{60} = 28920.0985782589
x61=35700.6839899897x_{61} = 35700.6839899897
x62=−20243.9300102247x_{62} = -20243.9300102247
x63=−14311.368760573x_{63} = -14311.368760573
x64=−17701.3513317905x_{64} = -17701.3513317905
x65=−24481.6656609381x_{65} = -24481.6656609381
x66=−27024.348767312x_{66} = -27024.348767312
x67=−29567.0535620404x_{67} = -29567.0535620404
x68=−16853.8400680481x_{68} = -16853.8400680481
x69=39938.5936175192x_{69} = 39938.5936175192
x70=−25329.2238960676x_{70} = -25329.2238960676
x71=34005.528117078x_{71} = 34005.528117078
x72=−22786.5590996572x_{72} = -22786.5590996572
x73=22139.6712357915x_{73} = 22139.6712357915
x74=17054.573617467x_{74} = 17054.573617467
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=0x_{1} = 0
x2=1x_{2} = 1

lim⁡x→0−((xx−1−1)(xx−1−3+2(xx−1−1)e−xx−11−e−xx−1)e−xx−1(1−e−xx−1)2(x−1)2)=∞\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\left(\frac{x}{x - 1} - 1\right) \left(\frac{x}{x - 1} - 3 + \frac{2 \left(\frac{x}{x - 1} - 1\right) e^{- \frac{x}{x - 1}}}{1 - e^{- \frac{x}{x - 1}}}\right) e^{- \frac{x}{x - 1}}}{\left(1 - e^{- \frac{x}{x - 1}}\right)^{2} \left(x - 1\right)^{2}}\right) = \infty
lim⁡x→0+((xx−1−1)(xx−1−3+2(xx−1−1)e−xx−11−e−xx−1)e−xx−1(1−e−xx−1)2(x−1)2)=−∞\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(\frac{x}{x - 1} - 1\right) \left(\frac{x}{x - 1} - 3 + \frac{2 \left(\frac{x}{x - 1} - 1\right) e^{- \frac{x}{x - 1}}}{1 - e^{- \frac{x}{x - 1}}}\right) e^{- \frac{x}{x - 1}}}{\left(1 - e^{- \frac{x}{x - 1}}\right)^{2} \left(x - 1\right)^{2}}\right) = -\infty
- los límites no son iguales, signo
x1=0x_{1} = 0
- es el punto de flexión
lim⁡x→1−((xx−1−1)(xx−1−3+2(xx−1−1)e−xx−11−e−xx−1)e−xx−1(1−e−xx−1)2(x−1)2)=0\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\left(\frac{x}{x - 1} - 1\right) \left(\frac{x}{x - 1} - 3 + \frac{2 \left(\frac{x}{x - 1} - 1\right) e^{- \frac{x}{x - 1}}}{1 - e^{- \frac{x}{x - 1}}}\right) e^{- \frac{x}{x - 1}}}{\left(1 - e^{- \frac{x}{x - 1}}\right)^{2} \left(x - 1\right)^{2}}\right) = 0
lim⁡x→1+((xx−1−1)(xx−1−3+2(xx−1−1)e−xx−11−e−xx−1)e−xx−1(1−e−xx−1)2(x−1)2)=0\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\left(\frac{x}{x - 1} - 1\right) \left(\frac{x}{x - 1} - 3 + \frac{2 \left(\frac{x}{x - 1} - 1\right) e^{- \frac{x}{x - 1}}}{1 - e^{- \frac{x}{x - 1}}}\right) e^{- \frac{x}{x - 1}}}{\left(1 - e^{- \frac{x}{x - 1}}\right)^{2} \left(x - 1\right)^{2}}\right) = 0
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
x2=1x_{2} = 1
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞11−ex1−x=e−1+e\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{1 - e^{\frac{x}{1 - x}}} = \frac{e}{-1 + e}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=e−1+ey = \frac{e}{-1 + e}
lim⁡x→∞11−ex1−x=e−1+e\lim_{x \to \infty} \frac{1}{1 - e^{\frac{x}{1 - x}}} = \frac{e}{-1 + e}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=e−1+ey = \frac{e}{-1 + e}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 1/(1 - exp(x/(1 - x))), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(1x(1−ex1−x))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x \left(1 - e^{\frac{x}{1 - x}}\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(1x(1−ex1−x))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x \left(1 - e^{\frac{x}{1 - x}}\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
11−ex1−x=11−e−xx+1\frac{1}{1 - e^{\frac{x}{1 - x}}} = \frac{1}{1 - e^{- \frac{x}{x + 1}}}
- No
11−ex1−x=−11−e−xx+1\frac{1}{1 - e^{\frac{x}{1 - x}}} = - \frac{1}{1 - e^{- \frac{x}{x + 1}}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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