Sr Examen

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y=-sin((1)/(2)(x-3\pi))
Trazado el gráfico de la función/ y=-sin((1)/(2)(x-3\pi))

Gráfico de la función y = y=-sin((1)/(2)(x-3\pi))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           /    /    3 \\
f(x) = -sin|0.5*|x - --||
           \    \    pi//
f(x)=−sin⁡(0.5(x−3π))f{\left(x \right)} = - \sin{\left(0.5 \left(x - \frac{3}{\pi}\right) \right)} 
f = -sin(0.5*(x - 3/pi))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102-2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
−sin⁡(0.5(x−3π))=0- \sin{\left(0.5 \left(x - \frac{3}{\pi}\right) \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0.954929658551372x_{1} = 0.954929658551372
x2=7.23811496573096x_{2} = 7.23811496573096
Solución numérica
x1=32.3708561944493x_{1} = 32.3708561944493
x2=57.5035974231676x_{2} = 57.5035974231676
x3=95.2027092662452x_{3} = 95.2027092662452
x4=−420.018485922481x_{4} = -420.018485922481
x5=−36.7441821845261x_{5} = -36.7441821845261
x6=70.0699680375268x_{6} = 70.0699680375268
x7=88.9195239590656x_{7} = 88.9195239590656
x8=51.2204121159881x_{8} = 51.2204121159881
x9=16569.7145846911x_{9} = 16569.7145846911
x10=44.9372268088085x_{10} = 44.9372268088085
x11=38.6540415016289x_{11} = 38.6540415016289
x12=−87.0096646419628x_{12} = -87.0096646419628
x13=63.7867827303472x_{13} = 63.7867827303472
x14=145.468191723682x_{14} = 145.468191723682
x15=19.8044855800901x_{15} = 19.8044855800901
x16=−501.699894915816x_{16} = -501.699894915816
x17=82.636338651886x_{17} = 82.636338651886
x18=−55.5937381060649x_{18} = -55.5937381060649
x19=101.485894573425x_{19} = 101.485894573425
x20=−17.8946262629874x_{20} = -17.8946262629874
x21=189.450488873939x_{21} = 189.450488873939
x22=13.5213002729105x_{22} = 13.5213002729105
x23=−99.576035256322x_{23} = -99.576035256322
x24=−68.1601087204241x_{24} = -68.1601087204241
x25=−24.177811570167x_{25} = -24.177811570167
x26=−49.3105527988853x_{26} = -49.3105527988853
x27=−43.0273674917057x_{27} = -43.0273674917057
x28=0.954929658551372x_{28} = 0.954929658551372
x29=76.3531533447064x_{29} = 76.3531533447064
x30=1232.45924986575x_{30} = 1232.45924986575
x31=−80.7264793347832x_{31} = -80.7264793347832
x32=−250.372482628632x_{32} = -250.372482628632
x33=−61.8769234132445x_{33} = -61.8769234132445
x34=7.23811496573096x_{34} = 7.23811496573096
x35=−74.4432940276037x_{35} = -74.4432940276037
x36=−5.32825564862821x_{36} = -5.32825564862821
x37=26.0876708872697x_{37} = 26.0876708872697
x38=−137.2751470994x_{38} = -137.2751470994
x39=−93.2928499491424x_{39} = -93.2928499491424
x40=−11.6114409558078x_{40} = -11.6114409558078
x41=−30.4609968773466x_{41} = -30.4609968773466
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en -sin(0.5*(x - 3/pi)).
−sin⁡(0.5(−3π))- \sin{\left(0.5 \left(- \frac{3}{\pi}\right) \right)}
Resultado:
f(0)=sin⁡(1.5π)f{\left(0 \right)} = \sin{\left(\frac{1.5}{\pi} \right)}
Punto:
(0, sin(1.5/pi))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−0.5cos⁡(0.5(x−3π))=0- 0.5 \cos{\left(0.5 \left(x - \frac{3}{\pi}\right) \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=4.09652231214117x_{1} = 4.09652231214117
x2=10.3797076193208x_{2} = 10.3797076193208
Signos de extremos en los puntos:
                       /                   1.5\ 
(4.09652231214117, -sin|2.04826115607058 - ---|)
                       \                    pi/ 

                       /                   1.5\ 
(10.3797076193208, -sin|5.18985380966038 - ---|)
                       \                    pi/


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=4.09652231214117x_{1} = 4.09652231214117
Puntos máximos de la función:
x1=10.3797076193208x_{1} = 10.3797076193208
Decrece en los intervalos
[4.09652231214117,10.3797076193208]\left[4.09652231214117, 10.3797076193208\right]
Crece en los intervalos
(−∞,4.09652231214117]∪[10.3797076193208,∞)\left(-\infty, 4.09652231214117\right] \cup \left[10.3797076193208, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
0.25sin⁡(0.5x−1.5π)=00.25 \sin{\left(0.5 x - \frac{1.5}{\pi} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0.954929658551372x_{1} = 0.954929658551372
x2=7.23811496573096x_{2} = 7.23811496573096

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[0.954929658551372,7.23811496573096]\left[0.954929658551372, 7.23811496573096\right]
Convexa en los intervalos
(−∞,0.954929658551372]∪[7.23811496573096,∞)\left(-\infty, 0.954929658551372\right] \cup \left[7.23811496573096, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(−sin⁡(0.5(x−3π)))=⟨−1,1⟩\lim_{x \to -\infty}\left(- \sin{\left(0.5 \left(x - \frac{3}{\pi}\right) \right)}\right) = \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle
lim⁡x→∞(−sin⁡(0.5(x−3π)))=⟨−1,1⟩\lim_{x \to \infty}\left(- \sin{\left(0.5 \left(x - \frac{3}{\pi}\right) \right)}\right) = \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función -sin(0.5*(x - 3/pi)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(−sin⁡(0.5(x−3π))x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(- \frac{\sin{\left(0.5 \left(x - \frac{3}{\pi}\right) \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(−sin⁡(0.5(x−3π))x)=0\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{\sin{\left(0.5 \left(x - \frac{3}{\pi}\right) \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
−sin⁡(0.5(x−3π))=sin⁡(0.5x+1.5π)- \sin{\left(0.5 \left(x - \frac{3}{\pi}\right) \right)} = \sin{\left(0.5 x + \frac{1.5}{\pi} \right)}
- No
−sin⁡(0.5(x−3π))=−sin⁡(0.5x+1.5π)- \sin{\left(0.5 \left(x - \frac{3}{\pi}\right) \right)} = - \sin{\left(0.5 x + \frac{1.5}{\pi} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = y=-sin((1)/(2)(x-3\pi))
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