Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada$$8 \left(\frac{x \left(16 - \frac{3 \left(8 x - 3\right)^{2}}{x \left(4 x - 3\right)}\right)}{4 \left(- x \left(4 x - 3\right)\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{8 x - 3}{\left(x \left(3 - 4 x\right)\right)^{\frac{3}{2}}}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{3}{16}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 0.75$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(8 \left(\frac{x \left(16 - \frac{3 \left(8 x - 3\right)^{2}}{x \left(4 x - 3\right)}\right)}{4 \left(- x \left(4 x - 3\right)\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{8 x - 3}{\left(x \left(3 - 4 x\right)\right)^{\frac{3}{2}}}\right)\right) = - \infty i$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(8 \left(\frac{x \left(16 - \frac{3 \left(8 x - 3\right)^{2}}{x \left(4 x - 3\right)}\right)}{4 \left(- x \left(4 x - 3\right)\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{8 x - 3}{\left(x \left(3 - 4 x\right)\right)^{\frac{3}{2}}}\right)\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 0$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 0.75^-}\left(8 \left(\frac{x \left(16 - \frac{3 \left(8 x - 3\right)^{2}}{x \left(4 x - 3\right)}\right)}{4 \left(- x \left(4 x - 3\right)\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{8 x - 3}{\left(x \left(3 - 4 x\right)\right)^{\frac{3}{2}}}\right)\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 0.75^+}\left(8 \left(\frac{x \left(16 - \frac{3 \left(8 x - 3\right)^{2}}{x \left(4 x - 3\right)}\right)}{4 \left(- x \left(4 x - 3\right)\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{8 x - 3}{\left(x \left(3 - 4 x\right)\right)^{\frac{3}{2}}}\right)\right) = - \infty i$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 0.75$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[\frac{3}{16}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{3}{16}\right]$$