Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^3/3-4*x
-
x^3-6*x^2+9*x+1
-
y=x+2
-
(x^3-x^2)/(4-x^2)
-
Expresiones idénticas
- ocho *x/sqrt(tres *x- cuatro *x^ dos)
- 8 multiplicar por x dividir por raíz cuadrada de (3 multiplicar por x menos 4 multiplicar por x al cuadrado )
- ocho multiplicar por x dividir por raíz cuadrada de (tres multiplicar por x menos cuatro multiplicar por x en el grado dos)
- 8*x/√(3*x-4*x^2)
- 8*x/sqrt(3*x-4*x2)
- 8*x/sqrt3*x-4*x2
- 8*x/sqrt(3*x-4*x²)
- 8*x/sqrt(3*x-4*x en el grado 2)
- 8x/sqrt(3x-4x^2)
- 8x/sqrt(3x-4x2)
- 8x/sqrt3x-4x2
- 8x/sqrt3x-4x^2
- 8*x dividir por sqrt(3*x-4*x^2)
-
Expresiones semejantes
- 8*x/sqrt(3*x+4*x^2)
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(x)/ln(x)
- sqrt(x-2)-2
- sqrt(y-2)
- sqrt(x)-lg(5-x)+(1/(x-2))
- sqrt((x-3)^2)
Gráfico de la función y = 8*x/sqrt(3*x-4*x^2)
Solución
Ha introducido
[src]
8*x
f(x) = ---------------
____________
/ 2
\/ 3*x - 4*x
$$f{\left(x \right)} = \frac{8 x}{\sqrt{- 4 x^{2} + 3 x}}$$
f = (8*x)/sqrt(-4*x^2 + 3*x)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 0.75$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 0.75$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{8 x}{\sqrt{- 4 x^{2} + 3 x}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{8 x}{\sqrt{- 4 x^{2} + 3 x}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{8 x \left(\frac{3}{2} - 4 x\right)}{\left(- 4 x^{2} + 3 x\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{8}{\sqrt{- 4 x^{2} + 3 x}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{8 x \left(\frac{3}{2} - 4 x\right)}{\left(- 4 x^{2} + 3 x\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{8}{\sqrt{- 4 x^{2} + 3 x}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$8 \left(\frac{x \left(16 - \frac{3 \left(8 x - 3\right)^{2}}{x \left(4 x - 3\right)}\right)}{4 \left(- x \left(4 x - 3\right)\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{8 x - 3}{\left(x \left(3 - 4 x\right)\right)^{\frac{3}{2}}}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{3}{16}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 0.75$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(8 \left(\frac{x \left(16 - \frac{3 \left(8 x - 3\right)^{2}}{x \left(4 x - 3\right)}\right)}{4 \left(- x \left(4 x - 3\right)\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{8 x - 3}{\left(x \left(3 - 4 x\right)\right)^{\frac{3}{2}}}\right)\right) = - \infty i$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(8 \left(\frac{x \left(16 - \frac{3 \left(8 x - 3\right)^{2}}{x \left(4 x - 3\right)}\right)}{4 \left(- x \left(4 x - 3\right)\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{8 x - 3}{\left(x \left(3 - 4 x\right)\right)^{\frac{3}{2}}}\right)\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 0$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 0.75^-}\left(8 \left(\frac{x \left(16 - \frac{3 \left(8 x - 3\right)^{2}}{x \left(4 x - 3\right)}\right)}{4 \left(- x \left(4 x - 3\right)\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{8 x - 3}{\left(x \left(3 - 4 x\right)\right)^{\frac{3}{2}}}\right)\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 0.75^+}\left(8 \left(\frac{x \left(16 - \frac{3 \left(8 x - 3\right)^{2}}{x \left(4 x - 3\right)}\right)}{4 \left(- x \left(4 x - 3\right)\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{8 x - 3}{\left(x \left(3 - 4 x\right)\right)^{\frac{3}{2}}}\right)\right) = - \infty i$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 0.75$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[\frac{3}{16}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{3}{16}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$8 \left(\frac{x \left(16 - \frac{3 \left(8 x - 3\right)^{2}}{x \left(4 x - 3\right)}\right)}{4 \left(- x \left(4 x - 3\right)\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{8 x - 3}{\left(x \left(3 - 4 x\right)\right)^{\frac{3}{2}}}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{3}{16}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 0.75$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(8 \left(\frac{x \left(16 - \frac{3 \left(8 x - 3\right)^{2}}{x \left(4 x - 3\right)}\right)}{4 \left(- x \left(4 x - 3\right)\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{8 x - 3}{\left(x \left(3 - 4 x\right)\right)^{\frac{3}{2}}}\right)\right) = - \infty i$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(8 \left(\frac{x \left(16 - \frac{3 \left(8 x - 3\right)^{2}}{x \left(4 x - 3\right)}\right)}{4 \left(- x \left(4 x - 3\right)\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{8 x - 3}{\left(x \left(3 - 4 x\right)\right)^{\frac{3}{2}}}\right)\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 0$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 0.75^-}\left(8 \left(\frac{x \left(16 - \frac{3 \left(8 x - 3\right)^{2}}{x \left(4 x - 3\right)}\right)}{4 \left(- x \left(4 x - 3\right)\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{8 x - 3}{\left(x \left(3 - 4 x\right)\right)^{\frac{3}{2}}}\right)\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 0.75^+}\left(8 \left(\frac{x \left(16 - \frac{3 \left(8 x - 3\right)^{2}}{x \left(4 x - 3\right)}\right)}{4 \left(- x \left(4 x - 3\right)\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{8 x - 3}{\left(x \left(3 - 4 x\right)\right)^{\frac{3}{2}}}\right)\right) = - \infty i$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 0.75$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[\frac{3}{16}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{3}{16}\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 0.75$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 0.75$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{8 x}{\sqrt{- 4 x^{2} + 3 x}}\right) = 4 i$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 4 i$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{8 x}{\sqrt{- 4 x^{2} + 3 x}}\right) = - 4 i$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = - 4 i$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{8 x}{\sqrt{- 4 x^{2} + 3 x}}\right) = 4 i$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 4 i$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{8 x}{\sqrt{- 4 x^{2} + 3 x}}\right) = - 4 i$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = - 4 i$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (8*x)/sqrt(3*x - 4*x^2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{8}{\sqrt{- 4 x^{2} + 3 x}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{8}{\sqrt{- 4 x^{2} + 3 x}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{8}{\sqrt{- 4 x^{2} + 3 x}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{8}{\sqrt{- 4 x^{2} + 3 x}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{8 x}{\sqrt{- 4 x^{2} + 3 x}} = - \frac{8 x}{\sqrt{- 4 x^{2} - 3 x}}$$
- No
$$\frac{8 x}{\sqrt{- 4 x^{2} + 3 x}} = \frac{8 x}{\sqrt{- 4 x^{2} - 3 x}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{8 x}{\sqrt{- 4 x^{2} + 3 x}} = - \frac{8 x}{\sqrt{- 4 x^{2} - 3 x}}$$
- No
$$\frac{8 x}{\sqrt{- 4 x^{2} + 3 x}} = \frac{8 x}{\sqrt{- 4 x^{2} - 3 x}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar