Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada$$\frac{\left(x + 6\right)^{2}}{\left(x^{2} + 12 x + 32\right)^{\frac{3}{2}}} - \frac{\left(x + 7\right)^{2}}{\left(- x^{2} - 14 x - 40\right)^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 12 x + 32}} - \frac{1}{\sqrt{- x^{2} - 14 x - 40}} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{808}{97} - \frac{36 \sqrt[3]{18}}{97} + \frac{24 \sqrt[3]{12}}{97}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- \frac{808}{97} - \frac{36 \sqrt[3]{18}}{97} + \frac{24 \sqrt[3]{12}}{97}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{808}{97} - \frac{36 \sqrt[3]{18}}{97} + \frac{24 \sqrt[3]{12}}{97}\right]$$