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Trazado el gráfico de la función/ sgrt(-x^2-14x-40)-sgrt(x^2+12x+32)

Gráfico de la función y = sgrt(-x^2-14x-40)-sgrt(x^2+12x+32)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          __________________      ________________
         /    2                  /  2             
f(x) = \/  - x  - 14*x - 40  - \/  x  + 12*x + 32
f(x)=(−x2−14x)−40−(x2+12x)+32f{\left(x \right)} = \sqrt{\left(- x^{2} - 14 x\right) - 40} - \sqrt{\left(x^{2} + 12 x\right) + 32} 
f = sqrt(-x^2 - 14*x - 40) - sqrt(x^2 + 12*x + 32)
Gráfico de la función
-0.010-0.008-0.006-0.004-0.0020.0100.0000.0020.0040.0060.0080.00
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(−x2−14x)−40−(x2+12x)+32=0\sqrt{\left(- x^{2} - 14 x\right) - 40} - \sqrt{\left(x^{2} + 12 x\right) + 32} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−9x_{1} = -9
x2=−4x_{2} = -4
Solución numérica
x1=−9x_{1} = -9
x2=−4x_{2} = -4
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sqrt(-x^2 - 14*x - 40) - sqrt(x^2 + 12*x + 32).
−(02+0⋅12)+32+−40+(−02−0)- \sqrt{\left(0^{2} + 0 \cdot 12\right) + 32} + \sqrt{-40 + \left(- 0^{2} - 0\right)}
Resultado:
f(0)=−42+210if{\left(0 \right)} = - 4 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10} i
Punto:
(0, -4*sqrt(2) + 2*i*sqrt(10))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−x−7(−x2−14x)−40−x+6(x2+12x)+32=0\frac{- x - 7}{\sqrt{\left(- x^{2} - 14 x\right) - 40}} - \frac{x + 6}{\sqrt{\left(x^{2} + 12 x\right) + 32}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(x+6)2(x2+12x+32)32−(x+7)2(−x2−14x−40)32−1x2+12x+32−1−x2−14x−40=0\frac{\left(x + 6\right)^{2}}{\left(x^{2} + 12 x + 32\right)^{\frac{3}{2}}} - \frac{\left(x + 7\right)^{2}}{\left(- x^{2} - 14 x - 40\right)^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 12 x + 32}} - \frac{1}{\sqrt{- x^{2} - 14 x - 40}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−80897−3618397+2412397x_{1} = - \frac{808}{97} - \frac{36 \sqrt[3]{18}}{97} + \frac{24 \sqrt[3]{12}}{97}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−80897−3618397+2412397,∞)\left[- \frac{808}{97} - \frac{36 \sqrt[3]{18}}{97} + \frac{24 \sqrt[3]{12}}{97}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−80897−3618397+2412397]\left(-\infty, - \frac{808}{97} - \frac{36 \sqrt[3]{18}}{97} + \frac{24 \sqrt[3]{12}}{97}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((−x2−14x)−40−(x2+12x)+32)=∞sign⁡(−1+i)\lim_{x \to -\infty}\left(\sqrt{\left(- x^{2} - 14 x\right) - 40} - \sqrt{\left(x^{2} + 12 x\right) + 32}\right) = \infty \operatorname{sign}{\left(-1 + i \right)}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=∞sign⁡(−1+i)y = \infty \operatorname{sign}{\left(-1 + i \right)}
lim⁡x→∞((−x2−14x)−40−(x2+12x)+32)=∞sign⁡(−1+i)\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{\left(- x^{2} - 14 x\right) - 40} - \sqrt{\left(x^{2} + 12 x\right) + 32}\right) = \infty \operatorname{sign}{\left(-1 + i \right)}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=∞sign⁡(−1+i)y = \infty \operatorname{sign}{\left(-1 + i \right)}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sqrt(-x^2 - 14*x - 40) - sqrt(x^2 + 12*x + 32), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((−x2−14x)−40−(x2+12x)+32x)=1−i\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{\left(- x^{2} - 14 x\right) - 40} - \sqrt{\left(x^{2} + 12 x\right) + 32}}{x}\right) = 1 - i
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=x(1−i)y = x \left(1 - i\right)
lim⁡x→∞((−x2−14x)−40−(x2+12x)+32x)=−1+i\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{\left(- x^{2} - 14 x\right) - 40} - \sqrt{\left(x^{2} + 12 x\right) + 32}}{x}\right) = -1 + i
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=x(−1+i)y = x \left(-1 + i\right)
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(−x2−14x)−40−(x2+12x)+32=−x2+14x−40−x2−12x+32\sqrt{\left(- x^{2} - 14 x\right) - 40} - \sqrt{\left(x^{2} + 12 x\right) + 32} = \sqrt{- x^{2} + 14 x - 40} - \sqrt{x^{2} - 12 x + 32}
- No
(−x2−14x)−40−(x2+12x)+32=−−x2+14x−40+x2−12x+32\sqrt{\left(- x^{2} - 14 x\right) - 40} - \sqrt{\left(x^{2} + 12 x\right) + 32} = - \sqrt{- x^{2} + 14 x - 40} + \sqrt{x^{2} - 12 x + 32}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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