Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ sgrt(x)/(6x-x²)

Gráfico de la función y = sgrt(x)/(6x-x²)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          ___  
        \/ x   
f(x) = --------
              2
       6*x - x
f(x)=x−x2+6xf{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{x}}{- x^{2} + 6 x} 
f = sqrt(x)/(-x^2 + 6*x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-2525
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
x2=6x_{2} = 6
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x−x2+6x=0\frac{\sqrt{x}}{- x^{2} + 6 x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sqrt(x)/(6*x - x^2).
00⋅6−02\frac{\sqrt{0}}{0 \cdot 6 - 0^{2}}
Resultado:
f(0)=NaNf{\left(0 \right)} = \text{NaN}
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
x(2x−6)(−x2+6x)2+12x(−x2+6x)=0\frac{\sqrt{x} \left(2 x - 6\right)}{\left(- x^{2} + 6 x\right)^{2}} + \frac{1}{2 \sqrt{x} \left(- x^{2} + 6 x\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=2x_{1} = 2
Signos de extremos en los puntos:
      ___ 
    \/ 2  
(2, -----)
      8


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=2x_{1} = 2
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[2,∞)\left[2, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,2]\left(-\infty, 2\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(1−4(x−3)2x(x−6))x−6+14x+2(x−3)x(x−6)x32(x−6)=0\frac{\frac{2 \left(1 - \frac{4 \left(x - 3\right)^{2}}{x \left(x - 6\right)}\right)}{x - 6} + \frac{1}{4 x} + \frac{2 \left(x - 3\right)}{x \left(x - 6\right)}}{x^{\frac{3}{2}} \left(x - 6\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
x2=6x_{2} = 6
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x−x2+6x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{x}}{- x^{2} + 6 x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(x−x2+6x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x}}{- x^{2} + 6 x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sqrt(x)/(6*x - x^2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(1x(−x2+6x))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{x} \left(- x^{2} + 6 x\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(1x(−x2+6x))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{\sqrt{x} \left(- x^{2} + 6 x\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x−x2+6x=−x−x2−6x\frac{\sqrt{x}}{- x^{2} + 6 x} = \frac{\sqrt{- x}}{- x^{2} - 6 x}
- No
x−x2+6x=−−x−x2−6x\frac{\sqrt{x}}{- x^{2} + 6 x} = - \frac{\sqrt{- x}}{- x^{2} - 6 x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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