Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ sgrt-x+(1/(sgrt2+x))+lg(x-1)

Gráfico de la función y = sgrt-x+(1/(sgrt2+x))+lg(x-1)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
         ___           1                 
f(x) = \/ x  - x + --------- + log(x - 1)
                     ___                 
                   \/ 2  + x
f(x)=((x−x)+1x+2)+log⁡(x−1)f{\left(x \right)} = \left(\left(\sqrt{x} - x\right) + \frac{1}{x + \sqrt{2}}\right) + \log{\left(x - 1 \right)} 
f = sqrt(x) - x + 1/(x + sqrt(2)) + log(x - 1)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100-5
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−1.4142135623731x_{1} = -1.4142135623731
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
((x−x)+1x+2)+log⁡(x−1)=0\left(\left(\sqrt{x} - x\right) + \frac{1}{x + \sqrt{2}}\right) + \log{\left(x - 1 \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sqrt(x) - x + 1/(sqrt(2) + x) + log(x - 1).
((0−0)+12)+log⁡(−1)\left(\left(\sqrt{0} - 0\right) + \frac{1}{\sqrt{2}}\right) + \log{\left(-1 \right)}
Resultado:
f(0)=22+iπf{\left(0 \right)} = \frac{\sqrt{2}}{2} + i \pi
Punto:
(0, sqrt(2)/2 + pi*i)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−1−1(x+2)2+1x−1+12x=0-1 - \frac{1}{\left(x + \sqrt{2}\right)^{2}} + \frac{1}{x - 1} + \frac{1}{2 \sqrt{x}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(x+2)3−1(x−1)2−14x32=0\frac{2}{\left(x + \sqrt{2}\right)^{3}} - \frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}} - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−1.4142135623731x_{1} = -1.4142135623731
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(((x−x)+1x+2)+log⁡(x−1))=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(\left(\sqrt{x} - x\right) + \frac{1}{x + \sqrt{2}}\right) + \log{\left(x - 1 \right)}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(((x−x)+1x+2)+log⁡(x−1))=−∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(\left(\sqrt{x} - x\right) + \frac{1}{x + \sqrt{2}}\right) + \log{\left(x - 1 \right)}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sqrt(x) - x + 1/(sqrt(2) + x) + log(x - 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(((x−x)+1x+2)+log⁡(x−1)x)=−1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(\left(\sqrt{x} - x\right) + \frac{1}{x + \sqrt{2}}\right) + \log{\left(x - 1 \right)}}{x}\right) = -1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=−xy = - x
lim⁡x→∞(((x−x)+1x+2)+log⁡(x−1)x)=−1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\left(\sqrt{x} - x\right) + \frac{1}{x + \sqrt{2}}\right) + \log{\left(x - 1 \right)}}{x}\right) = -1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=−xy = - x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
((x−x)+1x+2)+log⁡(x−1)=x+−x+log⁡(−x−1)+1−x+2\left(\left(\sqrt{x} - x\right) + \frac{1}{x + \sqrt{2}}\right) + \log{\left(x - 1 \right)} = x + \sqrt{- x} + \log{\left(- x - 1 \right)} + \frac{1}{- x + \sqrt{2}}
- No
((x−x)+1x+2)+log⁡(x−1)=−x−−x−log⁡(−x−1)−1−x+2\left(\left(\sqrt{x} - x\right) + \frac{1}{x + \sqrt{2}}\right) + \log{\left(x - 1 \right)} = - x - \sqrt{- x} - \log{\left(- x - 1 \right)} - \frac{1}{- x + \sqrt{2}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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