Sr Examen

Otras calculadoras

Trazado el gráfico de la función/ lg(x)/(x^2-1)

Gráfico de la función y = lg(x)/(x^2-1)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       log(x)
f(x) = ------
        2    
       x  - 1
f(x)=log⁡(x)x2−1f{\left(x \right)} = \frac{\log{\left(x \right)}}{x^{2} - 1} 
f = log(x)/(x^2 - 1)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101005
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−1x_{1} = -1
x2=1x_{2} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
log⁡(x)x2−1=0\frac{\log{\left(x \right)}}{x^{2} - 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log(x)/(x^2 - 1).
log⁡(0)−1+02\frac{\log{\left(0 \right)}}{-1 + 0^{2}}
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−2xlog⁡(x)(x2−1)2+1x(x2−1)=0- \frac{2 x \log{\left(x \right)}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \frac{1}{x \left(x^{2} - 1\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=35590.2404052186x_{1} = 35590.2404052186
x2=43138.9884830907x_{2} = 43138.9884830907
x3=37752.112139937x_{3} = 37752.112139937
x4=31252.3938489648x_{4} = 31252.3938489648
x5=38831.4461827143x_{5} = 38831.4461827143
x6=48503.7367637669x_{6} = 48503.7367637669
x7=24703.1671716971x_{7} = 24703.1671716971
x8=42063.5033394083x_{8} = 42063.5033394083
x9=47432.3901691349x_{9} = 47432.3901691349
x10=49574.3292918451x_{10} = 49574.3292918451
x11=52781.7929012998x_{11} = 52781.7929012998
x12=51713.337374433x_{12} = 51713.337374433
x13=46360.2667573666x_{13} = 46360.2667573666
x14=29075.543510137x_{14} = 29075.543510137
x15=39909.7654033379x_{15} = 39909.7654033379
x16=44213.592044569x_{16} = 44213.592044569
x17=54916.6996975093x_{17} = 54916.6996975093
x18=55983.1854809116x_{18} = 55983.1854809116
x19=53849.5744537555x_{19} = 53849.5744537555
x20=27984.9068136767x_{20} = 27984.9068136767
x21=45287.3425115954x_{21} = 45287.3425115954
x22=40987.1063676821x_{22} = 40987.1063676821
x23=26892.6918048566x_{23} = 26892.6918048566
x24=25798.8108445627x_{24} = 25798.8108445627
x25=34507.6158451751x_{25} = 34507.6158451751
x26=36671.7241773627x_{26} = 36671.7241773627
x27=50644.1893316834x_{27} = 50644.1893316834
x28=33423.8020914792x_{28} = 33423.8020914792
x29=32338.7469218969x_{29} = 32338.7469218969
x30=30164.6815998324x_{30} = 30164.6815998324
Signos de extremos en los puntos:
(35590.24040521862, 8.27355692845083e-9)

(43138.98848309072, 5.73473464450926e-9)

(37752.112139937046, 7.3944949807669e-9)

(31252.393848964755, 1.05966241642583e-8)

(38831.4461827143, 7.00783694657588e-9)

(48503.73676376687, 4.58613401770087e-9)

(24703.167171697063, 1.65747567282284e-8)

(42063.503339408315, 6.01746747149512e-9)

(47432.390169134924, 4.78571837917956e-9)

(49574.32929184515, 4.39907482615671e-9)

(52781.79290129982, 3.9031740713376e-9)

(51713.33737443296, 4.05848100644559e-9)

(46360.26675736662, 4.99898867605727e-9)

(29075.543510137024, 1.21573313542605e-8)

(39909.765403337864, 6.65146095009035e-9)

(44213.59204456903, 5.47194559080109e-9)

(54916.699697509284, 3.61874590003879e-9)

(55983.185480911605, 3.48832110334257e-9)

(53849.57445375553, 3.75682372401153e-9)

(27984.90681367673, 1.30745771807837e-8)

(45287.34251159544, 5.22724464554158e-9)

(40987.10636768214, 6.32224636746769e-9)

(26892.691804856622, 1.41031138104556e-8)

(25798.810844562737, 1.52620337675654e-8)

(34507.61584517515, 8.77489911931886e-9)

(36671.72417736265, 7.81502178284996e-9)

(50644.18933168342, 4.2235014634536e-9)

(33423.80209147921, 9.32463722720031e-9)

(32338.746921896898, 9.92931295223919e-9)

(30164.681599832402, 1.13356810416885e-8)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
La función no tiene puntos máximos
Decrece en todo el eje numérico
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(4x2x2−1−1)log⁡(x)x2−1−4x2−1−1x2x2−1=0\frac{\frac{2 \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right) \log{\left(x \right)}}{x^{2} - 1} - \frac{4}{x^{2} - 1} - \frac{1}{x^{2}}}{x^{2} - 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=9889.50390095917x_{1} = 9889.50390095917
x2=10401.1033477971x_{2} = 10401.1033477971
x3=13205.1409510821x_{3} = 13205.1409510821
x4=9377.26670376799x_{4} = 9377.26670376799
x5=2887.21223663982x_{5} = 2887.21223663982
x6=5768.77769902837x_{6} = 5768.77769902837
x7=10145.3806424847x_{7} = 10145.3806424847
x8=3416.13228957719x_{8} = 3416.13228957719
x9=7062.88168904952x_{9} = 7062.88168904952
x10=10656.6770238278x_{10} = 10656.6770238278
x11=12950.8351420087x_{11} = 12950.8351420087
x12=4466.35879811677x_{12} = 4466.35879811677
x13=4204.60772935932x_{13} = 4204.60772935932
x14=6546.08711663606x_{14} = 6546.08711663606
x15=7320.89782807169x_{15} = 7320.89782807169
x16=8093.56008820982x_{16} = 8093.56008820982
x17=11167.3959157784x_{17} = 11167.3959157784
x18=9633.46780640762x_{18} = 9633.46780640762
x19=10912.1063929692x_{19} = 10912.1063929692
x20=6028.18436123244x_{20} = 6028.18436123244
x21=8864.34496758156x_{21} = 8864.34496758156
x22=6287.2818121827x_{22} = 6287.2818121827
x23=8350.6853704674x_{23} = 8350.6853704674
x24=9120.89456787568x_{24} = 9120.89456787568
x25=11932.4664986504x_{25} = 11932.4664986504
x26=5509.04289345117x_{26} = 5509.04289345117
x27=11677.572075806x_{27} = 11677.572075806
x28=5248.95883614698x_{28} = 5248.95883614698
x29=3152.04774494791x_{29} = 3152.04774494791
x30=12187.2366780192x_{30} = 12187.2366780192
x31=11422.5498113735x_{31} = 11422.5498113735
x32=3679.54522921104x_{32} = 3679.54522921104
x33=4988.50186338333x_{33} = 4988.50186338333
x34=12441.8860341855x_{34} = 12441.8860341855
x35=7578.67588723941x_{35} = 7578.67588723941
x36=12696.417821967x_{36} = 12696.417821967
x37=4727.64528576564x_{37} = 4727.64528576564
x38=8607.61102519373x_{38} = 8607.61102519373
x39=6804.615726002x_{39} = 6804.615726002
x40=3942.35207508745x_{40} = 3942.35207508745
x41=7836.22665837026x_{41} = 7836.22665837026
x42=2621.52788688595x_{42} = 2621.52788688595
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=−1x_{1} = -1
x2=1x_{2} = 1

lim⁡x→−1−(2(4x2x2−1−1)log⁡(x)x2−1−4x2−1−1x2x2−1)=∞i\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{\frac{2 \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right) \log{\left(x \right)}}{x^{2} - 1} - \frac{4}{x^{2} - 1} - \frac{1}{x^{2}}}{x^{2} - 1}\right) = \infty i
lim⁡x→−1+(2(4x2x2−1−1)log⁡(x)x2−1−4x2−1−1x2x2−1)=−∞i\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{\frac{2 \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right) \log{\left(x \right)}}{x^{2} - 1} - \frac{4}{x^{2} - 1} - \frac{1}{x^{2}}}{x^{2} - 1}\right) = - \infty i
- los límites no son iguales, signo
x1=−1x_{1} = -1
- es el punto de flexión
lim⁡x→1−(2(4x2x2−1−1)log⁡(x)x2−1−4x2−1−1x2x2−1)=0.833333333333333\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\frac{2 \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right) \log{\left(x \right)}}{x^{2} - 1} - \frac{4}{x^{2} - 1} - \frac{1}{x^{2}}}{x^{2} - 1}\right) = 0.833333333333333
lim⁡x→1+(2(4x2x2−1−1)log⁡(x)x2−1−4x2−1−1x2x2−1)=0.833333333333333\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\frac{2 \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right) \log{\left(x \right)}}{x^{2} - 1} - \frac{4}{x^{2} - 1} - \frac{1}{x^{2}}}{x^{2} - 1}\right) = 0.833333333333333
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−1x_{1} = -1
x2=1x_{2} = 1
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡(x)x2−1)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x^{2} - 1}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(log⁡(x)x2−1)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x^{2} - 1}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(x)/(x^2 - 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡(x)x(x2−1))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x \left(x^{2} - 1\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(log⁡(x)x(x2−1))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x \left(x^{2} - 1\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
log⁡(x)x2−1=log⁡(−x)x2−1\frac{\log{\left(x \right)}}{x^{2} - 1} = \frac{\log{\left(- x \right)}}{x^{2} - 1}
- No
log⁡(x)x2−1=−log⁡(−x)x2−1\frac{\log{\left(x \right)}}{x^{2} - 1} = - \frac{\log{\left(- x \right)}}{x^{2} - 1}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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