Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada$$\frac{- \frac{1 - \frac{2 \left(x - 12\right) \left(x + 20\right)}{\left(x - 19\right) \left(x - 5\right)}}{x + 20} + \frac{1 - \frac{2 \left(x - 12\right) \left(x + 20\right)}{\left(x - 19\right) \left(x - 5\right)}}{x - 5} + \frac{1 - \frac{2 \left(x - 12\right) \left(x + 20\right)}{\left(x - 19\right) \left(x - 5\right)}}{x - 19} - \frac{2 \left(3 x - \frac{2 \left(x - 12\right) \left(x + 20\right)}{x - 5} - 4 - \frac{2 \left(x - 12\right) \left(x + 20\right)}{x - 19}\right)}{\left(x - 19\right) \left(x - 5\right)}}{x + 20} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{\frac{211250}{\sqrt[3]{2218125 \sqrt{1091} + 80908750}} + 2 \sqrt[3]{2218125 \sqrt{1091} + 80908750} + 2600}}{2} - 20 + \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{2218125 \sqrt{1091} + 80908750} - \frac{211250}{\sqrt[3]{2218125 \sqrt{1091} + 80908750}} + \frac{249600}{\sqrt{\frac{211250}{\sqrt[3]{2218125 \sqrt{1091} + 80908750}} + 2 \sqrt[3]{2218125 \sqrt{1091} + 80908750} + 2600}} + 5200}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{2218125 \sqrt{1091} + 80908750} - \frac{211250}{\sqrt[3]{2218125 \sqrt{1091} + 80908750}} + \frac{249600}{\sqrt{\frac{211250}{\sqrt[3]{2218125 \sqrt{1091} + 80908750}} + 2 \sqrt[3]{2218125 \sqrt{1091} + 80908750} + 2600}} + 5200}}{2} - \frac{\sqrt{\frac{211250}{\sqrt[3]{2218125 \sqrt{1091} + 80908750}} + 2 \sqrt[3]{2218125 \sqrt{1091} + 80908750} + 2600}}{2} - 20$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 5$$
$$x_{2} = 19$$
$$\lim_{x \to 5^-}\left(\frac{- \frac{1 - \frac{2 \left(x - 12\right) \left(x + 20\right)}{\left(x - 19\right) \left(x - 5\right)}}{x + 20} + \frac{1 - \frac{2 \left(x - 12\right) \left(x + 20\right)}{\left(x - 19\right) \left(x - 5\right)}}{x - 5} + \frac{1 - \frac{2 \left(x - 12\right) \left(x + 20\right)}{\left(x - 19\right) \left(x - 5\right)}}{x - 19} - \frac{2 \left(3 x - \frac{2 \left(x - 12\right) \left(x + 20\right)}{x - 5} - 4 - \frac{2 \left(x - 12\right) \left(x + 20\right)}{x - 19}\right)}{\left(x - 19\right) \left(x - 5\right)}}{x + 20}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 5^+}\left(\frac{- \frac{1 - \frac{2 \left(x - 12\right) \left(x + 20\right)}{\left(x - 19\right) \left(x - 5\right)}}{x + 20} + \frac{1 - \frac{2 \left(x - 12\right) \left(x + 20\right)}{\left(x - 19\right) \left(x - 5\right)}}{x - 5} + \frac{1 - \frac{2 \left(x - 12\right) \left(x + 20\right)}{\left(x - 19\right) \left(x - 5\right)}}{x - 19} - \frac{2 \left(3 x - \frac{2 \left(x - 12\right) \left(x + 20\right)}{x - 5} - 4 - \frac{2 \left(x - 12\right) \left(x + 20\right)}{x - 19}\right)}{\left(x - 19\right) \left(x - 5\right)}}{x + 20}\right) = \infty$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
$$\lim_{x \to 19^-}\left(\frac{- \frac{1 - \frac{2 \left(x - 12\right) \left(x + 20\right)}{\left(x - 19\right) \left(x - 5\right)}}{x + 20} + \frac{1 - \frac{2 \left(x - 12\right) \left(x + 20\right)}{\left(x - 19\right) \left(x - 5\right)}}{x - 5} + \frac{1 - \frac{2 \left(x - 12\right) \left(x + 20\right)}{\left(x - 19\right) \left(x - 5\right)}}{x - 19} - \frac{2 \left(3 x - \frac{2 \left(x - 12\right) \left(x + 20\right)}{x - 5} - 4 - \frac{2 \left(x - 12\right) \left(x + 20\right)}{x - 19}\right)}{\left(x - 19\right) \left(x - 5\right)}}{x + 20}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 19^+}\left(\frac{- \frac{1 - \frac{2 \left(x - 12\right) \left(x + 20\right)}{\left(x - 19\right) \left(x - 5\right)}}{x + 20} + \frac{1 - \frac{2 \left(x - 12\right) \left(x + 20\right)}{\left(x - 19\right) \left(x - 5\right)}}{x - 5} + \frac{1 - \frac{2 \left(x - 12\right) \left(x + 20\right)}{\left(x - 19\right) \left(x - 5\right)}}{x - 19} - \frac{2 \left(3 x - \frac{2 \left(x - 12\right) \left(x + 20\right)}{x - 5} - 4 - \frac{2 \left(x - 12\right) \left(x + 20\right)}{x - 19}\right)}{\left(x - 19\right) \left(x - 5\right)}}{x + 20}\right) = \infty$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{2218125 \sqrt{1091} + 80908750} - \frac{211250}{\sqrt[3]{2218125 \sqrt{1091} + 80908750}} + \frac{249600}{\sqrt{\frac{211250}{\sqrt[3]{2218125 \sqrt{1091} + 80908750}} + 2 \sqrt[3]{2218125 \sqrt{1091} + 80908750} + 2600}} + 5200}}{2} - \frac{\sqrt{\frac{211250}{\sqrt[3]{2218125 \sqrt{1091} + 80908750}} + 2 \sqrt[3]{2218125 \sqrt{1091} + 80908750} + 2600}}{2} - 20\right] \cup \left[- \frac{\sqrt{\frac{211250}{\sqrt[3]{2218125 \sqrt{1091} + 80908750}} + 2 \sqrt[3]{2218125 \sqrt{1091} + 80908750} + 2600}}{2} - 20 + \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{2218125 \sqrt{1091} + 80908750} - \frac{211250}{\sqrt[3]{2218125 \sqrt{1091} + 80908750}} + \frac{249600}{\sqrt{\frac{211250}{\sqrt[3]{2218125 \sqrt{1091} + 80908750}} + 2 \sqrt[3]{2218125 \sqrt{1091} + 80908750} + 2600}} + 5200}}{2}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{2218125 \sqrt{1091} + 80908750} - \frac{211250}{\sqrt[3]{2218125 \sqrt{1091} + 80908750}} + \frac{249600}{\sqrt{\frac{211250}{\sqrt[3]{2218125 \sqrt{1091} + 80908750}} + 2 \sqrt[3]{2218125 \sqrt{1091} + 80908750} + 2600}} + 5200}}{2} - \frac{\sqrt{\frac{211250}{\sqrt[3]{2218125 \sqrt{1091} + 80908750}} + 2 \sqrt[3]{2218125 \sqrt{1091} + 80908750} + 2600}}{2} - 20, - \frac{\sqrt{\frac{211250}{\sqrt[3]{2218125 \sqrt{1091} + 80908750}} + 2 \sqrt[3]{2218125 \sqrt{1091} + 80908750} + 2600}}{2} - 20 + \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{2218125 \sqrt{1091} + 80908750} - \frac{211250}{\sqrt[3]{2218125 \sqrt{1091} + 80908750}} + \frac{249600}{\sqrt{\frac{211250}{\sqrt[3]{2218125 \sqrt{1091} + 80908750}} + 2 \sqrt[3]{2218125 \sqrt{1091} + 80908750} + 2600}} + 5200}}{2}\right]$$