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x^8-3*x^4-x+5
Trazado el gráfico de la función/ x^8-3*x^4-x+5

Gráfico de la función y = x^8-3*x^4-x+5

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

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Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        8      4        
f(x) = x  - 3*x  - x + 5
f(x)=(−x+(x8−3x4))+5f{\left(x \right)} = \left(- x + \left(x^{8} - 3 x^{4}\right)\right) + 5 
f = -x + x^8 - 3*x^4 + 5
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100200000000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(−x+(x8−3x4))+5=0\left(- x + \left(x^{8} - 3 x^{4}\right)\right) + 5 = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x^8 - 3*x^4 - x + 5.
((08−3⋅04)−0)+5\left(\left(0^{8} - 3 \cdot 0^{4}\right) - 0\right) + 5
Resultado:
f(0)=5f{\left(0 \right)} = 5
Punto:
(0, 5)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
8x7−12x3−1=08 x^{7} - 12 x^{3} - 1 = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−1.08834664367413x_{1} = -1.08834664367413
x2=−0.440507501658958x_{2} = -0.440507501658958
x3=1.12262954879981x_{3} = 1.12262954879981
Signos de extremos en los puntos:
(-1.08834664367413, 3.8477485641239)

(-0.440507501658958, 5.32896278870957)

(1.12262954879981, 1.63517595988469)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−1.08834664367413x_{1} = -1.08834664367413
x2=1.12262954879981x_{2} = 1.12262954879981
Puntos máximos de la función:
x2=−0.440507501658958x_{2} = -0.440507501658958
Decrece en los intervalos
[−1.08834664367413,−0.440507501658958]∪[1.12262954879981,∞)\left[-1.08834664367413, -0.440507501658958\right] \cup \left[1.12262954879981, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−1.08834664367413]∪[−0.440507501658958,1.12262954879981]\left(-\infty, -1.08834664367413\right] \cup \left[-0.440507501658958, 1.12262954879981\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
4x2(14x4−9)=04 x^{2} \left(14 x^{4} - 9\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=−1434314x_{2} = - \frac{14^{\frac{3}{4}} \sqrt{3}}{14}
x3=1434314x_{3} = \frac{14^{\frac{3}{4}} \sqrt{3}}{14}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−1434314]∪[1434314,∞)\left(-\infty, - \frac{14^{\frac{3}{4}} \sqrt{3}}{14}\right] \cup \left[\frac{14^{\frac{3}{4}} \sqrt{3}}{14}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[−1434314,1434314]\left[- \frac{14^{\frac{3}{4}} \sqrt{3}}{14}, \frac{14^{\frac{3}{4}} \sqrt{3}}{14}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((−x+(x8−3x4))+5)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(- x + \left(x^{8} - 3 x^{4}\right)\right) + 5\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((−x+(x8−3x4))+5)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(- x + \left(x^{8} - 3 x^{4}\right)\right) + 5\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^8 - 3*x^4 - x + 5, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((−x+(x8−3x4))+5x)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- x + \left(x^{8} - 3 x^{4}\right)\right) + 5}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞((−x+(x8−3x4))+5x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- x + \left(x^{8} - 3 x^{4}\right)\right) + 5}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(−x+(x8−3x4))+5=x8−3x4+x+5\left(- x + \left(x^{8} - 3 x^{4}\right)\right) + 5 = x^{8} - 3 x^{4} + x + 5
- No
(−x+(x8−3x4))+5=−x8+3x4−x−5\left(- x + \left(x^{8} - 3 x^{4}\right)\right) + 5 = - x^{8} + 3 x^{4} - x - 5
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = x^8-3*x^4-x+5
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