Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ sqrt(4-x)-sqrt(x+2)

Gráfico de la función y = sqrt(4-x)-sqrt(x+2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
         _______     _______
f(x) = \/ 4 - x  - \/ x + 2
f(x)=4−x−x+2f{\left(x \right)} = \sqrt{4 - x} - \sqrt{x + 2} 
f = sqrt(4 - x) - sqrt(x + 2)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
4−x−x+2=0\sqrt{4 - x} - \sqrt{x + 2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=1x_{1} = 1
Solución numérica
x1=1x_{1} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sqrt(4 - x) - sqrt(x + 2).
−2+4−0- \sqrt{2} + \sqrt{4 - 0}
Resultado:
f(0)=2−2f{\left(0 \right)} = 2 - \sqrt{2}
Punto:
(0, 2 - sqrt(2))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−12x+2−124−x=0- \frac{1}{2 \sqrt{x + 2}} - \frac{1}{2 \sqrt{4 - x}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
1(x+2)32−1(4−x)324=0\frac{\frac{1}{\left(x + 2\right)^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{\left(4 - x\right)^{\frac{3}{2}}}}{4} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=1x_{1} = 1

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,1]\left(-\infty, 1\right]
Convexa en los intervalos
[1,∞)\left[1, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(4−x−x+2)=−∞sign⁡(−1+i)\lim_{x \to -\infty}\left(\sqrt{4 - x} - \sqrt{x + 2}\right) = - \infty \operatorname{sign}{\left(-1 + i \right)}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=−∞sign⁡(−1+i)y = - \infty \operatorname{sign}{\left(-1 + i \right)}
lim⁡x→∞(4−x−x+2)=∞sign⁡(−1+i)\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{4 - x} - \sqrt{x + 2}\right) = \infty \operatorname{sign}{\left(-1 + i \right)}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=∞sign⁡(−1+i)y = \infty \operatorname{sign}{\left(-1 + i \right)}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sqrt(4 - x) - sqrt(x + 2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(4−x−x+2x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{4 - x} - \sqrt{x + 2}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(4−x−x+2x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{4 - x} - \sqrt{x + 2}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
4−x−x+2=−2−x+x+4\sqrt{4 - x} - \sqrt{x + 2} = - \sqrt{2 - x} + \sqrt{x + 4}
- No
4−x−x+2=2−x−x+4\sqrt{4 - x} - \sqrt{x + 2} = \sqrt{2 - x} - \sqrt{x + 4}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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