Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ 1/2cosx

Gráfico de la función y = 1/2cosx

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       cos(x)
f(x) = ------
         2
f(x)=cos⁡(x)2f{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{2} 
f = cos(x)/2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10101-1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
cos⁡(x)2=0\frac{\cos{\left(x \right)}}{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}
x2=3π2x_{2} = \frac{3 \pi}{2}
Solución numérica
x1=42.4115008234622x_{1} = 42.4115008234622
x2=54.9778714378214x_{2} = 54.9778714378214
x3=−86.3937979737193x_{3} = -86.3937979737193
x4=−98.9601685880785x_{4} = -98.9601685880785
x5=29.845130209103x_{5} = 29.845130209103
x6=−42.4115008234622x_{6} = -42.4115008234622
x7=89.5353906273091x_{7} = 89.5353906273091
x8=−95.8185759344887x_{8} = -95.8185759344887
x9=−64.4026493985908x_{9} = -64.4026493985908
x10=14.1371669411541x_{10} = 14.1371669411541
x11=−17.2787595947439x_{11} = -17.2787595947439
x12=48.6946861306418x_{12} = 48.6946861306418
x13=−48.6946861306418x_{13} = -48.6946861306418
x14=−67.5442420521806x_{14} = -67.5442420521806
x15=−32.9867228626928x_{15} = -32.9867228626928
x16=−80.1106126665397x_{16} = -80.1106126665397
x17=83.2522053201295x_{17} = 83.2522053201295
x18=1.5707963267949x_{18} = 1.5707963267949
x19=10.9955742875643x_{19} = 10.9955742875643
x20=−7.85398163397448x_{20} = -7.85398163397448
x21=−76.9690200129499x_{21} = -76.9690200129499
x22=98.9601685880785x_{22} = 98.9601685880785
x23=−4.71238898038469x_{23} = -4.71238898038469
x24=−2266.65909956504x_{24} = -2266.65909956504
x25=36.1283155162826x_{25} = 36.1283155162826
x26=20.4203522483337x_{26} = 20.4203522483337
x27=23.5619449019235x_{27} = 23.5619449019235
x28=51.8362787842316x_{28} = 51.8362787842316
x29=−387.986692718339x_{29} = -387.986692718339
x30=−45.553093477052x_{30} = -45.553093477052
x31=45.553093477052x_{31} = 45.553093477052
x32=−1.5707963267949x_{32} = -1.5707963267949
x33=−10.9955742875643x_{33} = -10.9955742875643
x34=26.7035375555132x_{34} = 26.7035375555132
x35=67.5442420521806x_{35} = 67.5442420521806
x36=92.6769832808989x_{36} = 92.6769832808989
x37=−58.1194640914112x_{37} = -58.1194640914112
x38=73.8274273593601x_{38} = 73.8274273593601
x39=−39.2699081698724x_{39} = -39.2699081698724
x40=95.8185759344887x_{40} = 95.8185759344887
x41=−23.5619449019235x_{41} = -23.5619449019235
x42=−70.6858347057703x_{42} = -70.6858347057703
x43=−168.075206967054x_{43} = -168.075206967054
x44=80.1106126665397x_{44} = 80.1106126665397
x45=58.1194640914112x_{45} = 58.1194640914112
x46=−14.1371669411541x_{46} = -14.1371669411541
x47=32.9867228626928x_{47} = 32.9867228626928
x48=−83.2522053201295x_{48} = -83.2522053201295
x49=7.85398163397448x_{49} = 7.85398163397448
x50=−89.5353906273091x_{50} = -89.5353906273091
x51=−29.845130209103x_{51} = -29.845130209103
x52=76.9690200129499x_{52} = 76.9690200129499
x53=86.3937979737193x_{53} = 86.3937979737193
x54=70.6858347057703x_{54} = 70.6858347057703
x55=−26.7035375555132x_{55} = -26.7035375555132
x56=−36.1283155162826x_{56} = -36.1283155162826
x57=−92.6769832808989x_{57} = -92.6769832808989
x58=−51.8362787842316x_{58} = -51.8362787842316
x59=−73.8274273593601x_{59} = -73.8274273593601
x60=17.2787595947439x_{60} = 17.2787595947439
x61=64.4026493985908x_{61} = 64.4026493985908
x62=−20.4203522483337x_{62} = -20.4203522483337
x63=4.71238898038469x_{63} = 4.71238898038469
x64=−54.9778714378214x_{64} = -54.9778714378214
x65=39.2699081698724x_{65} = 39.2699081698724
x66=−61.261056745001x_{66} = -61.261056745001
x67=61.261056745001x_{67} = 61.261056745001
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en cos(x)/2.
cos⁡(0)2\frac{\cos{\left(0 \right)}}{2}
Resultado:
f(0)=12f{\left(0 \right)} = \frac{1}{2}
Punto:
(0, 1/2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−sin⁡(x)2=0- \frac{\sin{\left(x \right)}}{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=πx_{2} = \pi
Signos de extremos en los puntos:
(0, 1/2)

(pi, -1/2)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=πx_{1} = \pi
Puntos máximos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Decrece en los intervalos
(−∞,0]∪[π,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\pi, \infty\right)
Crece en los intervalos
[0,π]\left[0, \pi\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−cos⁡(x)2=0- \frac{\cos{\left(x \right)}}{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}
x2=3π2x_{2} = \frac{3 \pi}{2}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[π2,3π2]\left[\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right]
Convexa en los intervalos
(−∞,π2]∪[3π2,∞)\left(-\infty, \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{2}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(cos⁡(x)2)=⟨−12,12⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{2}\right) = \left\langle - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−12,12⟩y = \left\langle - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right\rangle
lim⁡x→∞(cos⁡(x)2)=⟨−12,12⟩\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{2}\right) = \left\langle - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−12,12⟩y = \left\langle - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(x)/2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(cos⁡(x)2x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{2 x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(cos⁡(x)2x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{2 x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
cos⁡(x)2=cos⁡(x)2\frac{\cos{\left(x \right)}}{2} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{2}
- Sí
cos⁡(x)2=−cos⁡(x)2\frac{\cos{\left(x \right)}}{2} = - \frac{\cos{\left(x \right)}}{2}
- No
es decir, función
es
par
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