Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ e^xcosx

Gráfico de la función y = e^xcosx

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        x       
f(x) = E *cos(x)
f(x)=excos⁡(x)f{\left(x \right)} = e^{x} \cos{\left(x \right)} 
f = E^x*cos(x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-2000020000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
excos⁡(x)=0e^{x} \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−π2x_{1} = - \frac{\pi}{2}
x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}
Solución numérica
x1=7.85398163397448x_{1} = 7.85398163397448
x2=−86.3937979737193x_{2} = -86.3937979737193
x3=23.5619449019235x_{3} = 23.5619449019235
x4=−67.5442420521806x_{4} = -67.5442420521806
x5=−4.71238898038469x_{5} = -4.71238898038469
x6=−20.4203522483337x_{6} = -20.4203522483337
x7=−98.9601685880785x_{7} = -98.9601685880785
x8=−39.2699081698724x_{8} = -39.2699081698724
x9=26.7035375555132x_{9} = 26.7035375555132
x10=−48.6946861306418x_{10} = -48.6946861306418
x11=−89.5353906273091x_{11} = -89.5353906273091
x12=−17.2787595947439x_{12} = -17.2787595947439
x13=20.4203522483337x_{13} = 20.4203522483337
x14=−64.4026493985908x_{14} = -64.4026493985908
x15=14.1371669411541x_{15} = 14.1371669411541
x16=−26.7035375555132x_{16} = -26.7035375555132
x17=−70.6858347057703x_{17} = -70.6858347057703
x18=−32.9867228626928x_{18} = -32.9867228626928
x19=−105.243353895258x_{19} = -105.243353895258
x20=4.71238898038469x_{20} = 4.71238898038469
x21=−95.8185759344887x_{21} = -95.8185759344887
x22=−7.85398163397448x_{22} = -7.85398163397448
x23=−23.5619449019235x_{23} = -23.5619449019235
x24=−36.1283155162826x_{24} = -36.1283155162826
x25=−83.2522053201295x_{25} = -83.2522053201295
x26=−1.5707963267949x_{26} = -1.5707963267949
x27=−58.1194640914112x_{27} = -58.1194640914112
x28=−10.9955742875643x_{28} = -10.9955742875643
x29=1.5707963267949x_{29} = 1.5707963267949
x30=29.845130209103x_{30} = 29.845130209103
x31=−73.8274273593601x_{31} = -73.8274273593601
x32=−92.6769832808989x_{32} = -92.6769832808989
x33=−54.9778714378214x_{33} = -54.9778714378214
x34=−76.9690200129499x_{34} = -76.9690200129499
x35=−61.261056745001x_{35} = -61.261056745001
x36=17.2787595947439x_{36} = 17.2787595947439
x37=10.9955742875643x_{37} = 10.9955742875643
x38=−51.8362787842316x_{38} = -51.8362787842316
x39=−45.553093477052x_{39} = -45.553093477052
x40=−42.4115008234622x_{40} = -42.4115008234622
x41=−80.1106126665397x_{41} = -80.1106126665397
x42=−29.845130209103x_{42} = -29.845130209103
x43=−14.1371669411541x_{43} = -14.1371669411541
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en E^x*cos(x).
e0cos⁡(0)e^{0} \cos{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−exsin⁡(x)+excos⁡(x)=0- e^{x} \sin{\left(x \right)} + e^{x} \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=π4x_{1} = \frac{\pi}{4}
Signos de extremos en los puntos:
            pi 
            -- 
       ___  4  
 pi  \/ 2 *e   
(--, ---------)
 4       2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=π4x_{1} = \frac{\pi}{4}
Decrece en los intervalos
(−∞,π4]\left(-\infty, \frac{\pi}{4}\right]
Crece en los intervalos
[π4,∞)\left[\frac{\pi}{4}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−2exsin⁡(x)=0- 2 e^{x} \sin{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=πx_{2} = \pi

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,0]∪[π,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\pi, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[0,π]\left[0, \pi\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(excos⁡(x))=0\lim_{x \to -\infty}\left(e^{x} \cos{\left(x \right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(excos⁡(x))=⟨−∞,∞⟩\lim_{x \to \infty}\left(e^{x} \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−∞,∞⟩y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función E^x*cos(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(excos⁡(x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{x} \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(excos⁡(x)x)=⟨−∞,∞⟩\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{x} \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=⟨−∞,∞⟩xy = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
excos⁡(x)=e−xcos⁡(x)e^{x} \cos{\left(x \right)} = e^{- x} \cos{\left(x \right)}
- No
excos⁡(x)=−e−xcos⁡(x)e^{x} \cos{\left(x \right)} = - e^{- x} \cos{\left(x \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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