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(-8x^2-8x+16)/(x-2)
Trazado el gráfico de la función/ (-8x^2-8x+16)/(x-2)

Gráfico de la función y = (-8x^2-8x+16)/(x-2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
            2           
       - 8*x  - 8*x + 16
f(x) = -----------------
             x - 2
f(x)=(−8x2−8x)+16x−2f{\left(x \right)} = \frac{\left(- 8 x^{2} - 8 x\right) + 16}{x - 2} 
f = (-8*x^2 - 8*x + 16)/(x - 2)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-10001000
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=2x_{1} = 2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (-8*x^2 - 8*x + 16)/(x - 2).
(−8⋅02−0)+16−2\frac{\left(- 8 \cdot 0^{2} - 0\right) + 16}{-2}
Resultado:
f(0)=−8f{\left(0 \right)} = -8
Punto:
(0, -8)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−16x−8x−2−(−8x2−8x)+16(x−2)2=0\frac{- 16 x - 8}{x - 2} - \frac{\left(- 8 x^{2} - 8 x\right) + 16}{\left(x - 2\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=4x_{2} = 4
Signos de extremos en los puntos:
(0, -8)

(4, -72)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Puntos máximos de la función:
x1=4x_{1} = 4
Decrece en los intervalos
[0,4]\left[0, 4\right]
Crece en los intervalos
(−∞,0]∪[4,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[4, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
16(−1+2x+1x−2−x2+x−2(x−2)2)x−2=0\frac{16 \left(-1 + \frac{2 x + 1}{x - 2} - \frac{x^{2} + x - 2}{\left(x - 2\right)^{2}}\right)}{x - 2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=2x_{1} = 2
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((−8x2−8x)+16x−2)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- 8 x^{2} - 8 x\right) + 16}{x - 2}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((−8x2−8x)+16x−2)=−∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- 8 x^{2} - 8 x\right) + 16}{x - 2}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (-8*x^2 - 8*x + 16)/(x - 2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((−8x2−8x)+16x(x−2))=−8\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- 8 x^{2} - 8 x\right) + 16}{x \left(x - 2\right)}\right) = -8
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=−8xy = - 8 x
lim⁡x→∞((−8x2−8x)+16x(x−2))=−8\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- 8 x^{2} - 8 x\right) + 16}{x \left(x - 2\right)}\right) = -8
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=−8xy = - 8 x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(−8x2−8x)+16x−2=−8x2+8x+16−x−2\frac{\left(- 8 x^{2} - 8 x\right) + 16}{x - 2} = \frac{- 8 x^{2} + 8 x + 16}{- x - 2}
- No
(−8x2−8x)+16x−2=−−8x2+8x+16−x−2\frac{\left(- 8 x^{2} - 8 x\right) + 16}{x - 2} = - \frac{- 8 x^{2} + 8 x + 16}{- x - 2}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = (-8x^2-8x+16)/(x-2)
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