Sr Examen

Otras calculadoras

Trazado el gráfico de la función/ arctan((20x)/(100-x^2))

Gráfico de la función y = arctan((20x)/(100-x^2))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           /  20*x  \
f(x) = atan|--------|
           |       2|
           \100 - x /
f(x)=atan⁡(20x100−x2)f{\left(x \right)} = \operatorname{atan}{\left(\frac{20 x}{100 - x^{2}} \right)} 
f = atan((20*x)/(100 - x^2))
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−10x_{1} = -10
x2=10x_{2} = 10
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
atan⁡(20x100−x2)=0\operatorname{atan}{\left(\frac{20 x}{100 - x^{2}} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en atan((20*x)/(100 - x^2)).
atan⁡(0⋅20100−02)\operatorname{atan}{\left(\frac{0 \cdot 20}{100 - 0^{2}} \right)}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
40x2(100−x2)2+20100−x2400x2(100−x2)2+1=0\frac{\frac{40 x^{2}}{\left(100 - x^{2}\right)^{2}} + \frac{20}{100 - x^{2}}}{\frac{400 x^{2}}{\left(100 - x^{2}\right)^{2}} + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
40x(−4x2x2−100+3+400(2x2x2−100−1)2(x2−100)(400x2(x2−100)2+1))(x2−100)2(400x2(x2−100)2+1)=0\frac{40 x \left(- \frac{4 x^{2}}{x^{2} - 100} + 3 + \frac{400 \left(\frac{2 x^{2}}{x^{2} - 100} - 1\right)^{2}}{\left(x^{2} - 100\right) \left(\frac{400 x^{2}}{\left(x^{2} - 100\right)^{2}} + 1\right)}\right)}{\left(x^{2} - 100\right)^{2} \left(\frac{400 x^{2}}{\left(x^{2} - 100\right)^{2}} + 1\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=−10x_{1} = -10
x2=10x_{2} = 10

lim⁡x→−10−(40x(−4x2x2−100+3+400(2x2x2−100−1)2(x2−100)(400x2(x2−100)2+1))(x2−100)2(400x2(x2−100)2+1))=−∞\lim_{x \to -10^-}\left(\frac{40 x \left(- \frac{4 x^{2}}{x^{2} - 100} + 3 + \frac{400 \left(\frac{2 x^{2}}{x^{2} - 100} - 1\right)^{2}}{\left(x^{2} - 100\right) \left(\frac{400 x^{2}}{\left(x^{2} - 100\right)^{2}} + 1\right)}\right)}{\left(x^{2} - 100\right)^{2} \left(\frac{400 x^{2}}{\left(x^{2} - 100\right)^{2}} + 1\right)}\right) = -\infty
lim⁡x→−10+(40x(−4x2x2−100+3+400(2x2x2−100−1)2(x2−100)(400x2(x2−100)2+1))(x2−100)2(400x2(x2−100)2+1))=∞\lim_{x \to -10^+}\left(\frac{40 x \left(- \frac{4 x^{2}}{x^{2} - 100} + 3 + \frac{400 \left(\frac{2 x^{2}}{x^{2} - 100} - 1\right)^{2}}{\left(x^{2} - 100\right) \left(\frac{400 x^{2}}{\left(x^{2} - 100\right)^{2}} + 1\right)}\right)}{\left(x^{2} - 100\right)^{2} \left(\frac{400 x^{2}}{\left(x^{2} - 100\right)^{2}} + 1\right)}\right) = \infty
- los límites no son iguales, signo
x1=−10x_{1} = -10
- es el punto de flexión
lim⁡x→10−(40x(−4x2x2−100+3+400(2x2x2−100−1)2(x2−100)(400x2(x2−100)2+1))(x2−100)2(400x2(x2−100)2+1))=−∞\lim_{x \to 10^-}\left(\frac{40 x \left(- \frac{4 x^{2}}{x^{2} - 100} + 3 + \frac{400 \left(\frac{2 x^{2}}{x^{2} - 100} - 1\right)^{2}}{\left(x^{2} - 100\right) \left(\frac{400 x^{2}}{\left(x^{2} - 100\right)^{2}} + 1\right)}\right)}{\left(x^{2} - 100\right)^{2} \left(\frac{400 x^{2}}{\left(x^{2} - 100\right)^{2}} + 1\right)}\right) = -\infty
lim⁡x→10+(40x(−4x2x2−100+3+400(2x2x2−100−1)2(x2−100)(400x2(x2−100)2+1))(x2−100)2(400x2(x2−100)2+1))=∞\lim_{x \to 10^+}\left(\frac{40 x \left(- \frac{4 x^{2}}{x^{2} - 100} + 3 + \frac{400 \left(\frac{2 x^{2}}{x^{2} - 100} - 1\right)^{2}}{\left(x^{2} - 100\right) \left(\frac{400 x^{2}}{\left(x^{2} - 100\right)^{2}} + 1\right)}\right)}{\left(x^{2} - 100\right)^{2} \left(\frac{400 x^{2}}{\left(x^{2} - 100\right)^{2}} + 1\right)}\right) = \infty
- los límites no son iguales, signo
x2=10x_{2} = 10
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Convexa en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−10x_{1} = -10
x2=10x_{2} = 10
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞atan⁡(20x100−x2)=0\lim_{x \to -\infty} \operatorname{atan}{\left(\frac{20 x}{100 - x^{2}} \right)} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞atan⁡(20x100−x2)=0\lim_{x \to \infty} \operatorname{atan}{\left(\frac{20 x}{100 - x^{2}} \right)} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función atan((20*x)/(100 - x^2)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(atan⁡(20x100−x2)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{20 x}{100 - x^{2}} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(atan⁡(20x100−x2)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{20 x}{100 - x^{2}} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
atan⁡(20x100−x2)=−atan⁡(20x100−x2)\operatorname{atan}{\left(\frac{20 x}{100 - x^{2}} \right)} = - \operatorname{atan}{\left(\frac{20 x}{100 - x^{2}} \right)}
- No
atan⁡(20x100−x2)=atan⁡(20x100−x2)\operatorname{atan}{\left(\frac{20 x}{100 - x^{2}} \right)} = \operatorname{atan}{\left(\frac{20 x}{100 - x^{2}} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
    © Sr Examen – Калькулятор