Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada$$\frac{2 \left(- \frac{x^{4} \left(\frac{x}{x + 3} - 2\right)^{2}}{\left(x + 3\right)^{2} \left(\frac{x^{4}}{\left(x + 3\right)^{2}} + 1\right)} + \frac{x^{2}}{\left(x + 3\right)^{2}} - \frac{2 x}{x + 3} + 1\right)}{\left(x + 3\right) \left(\frac{x^{4}}{\left(x + 3\right)^{2}} + 1\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = -9.00821170614569$$
$$x_{2} = -1.20042585518685$$
$$x_{3} = 1.39675165203272$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -3$$
$$\lim_{x \to -3^-}\left(\frac{2 \left(- \frac{x^{4} \left(\frac{x}{x + 3} - 2\right)^{2}}{\left(x + 3\right)^{2} \left(\frac{x^{4}}{\left(x + 3\right)^{2}} + 1\right)} + \frac{x^{2}}{\left(x + 3\right)^{2}} - \frac{2 x}{x + 3} + 1\right)}{\left(x + 3\right) \left(\frac{x^{4}}{\left(x + 3\right)^{2}} + 1\right)}\right) = -0.148148148148148$$
$$\lim_{x \to -3^+}\left(\frac{2 \left(- \frac{x^{4} \left(\frac{x}{x + 3} - 2\right)^{2}}{\left(x + 3\right)^{2} \left(\frac{x^{4}}{\left(x + 3\right)^{2}} + 1\right)} + \frac{x^{2}}{\left(x + 3\right)^{2}} - \frac{2 x}{x + 3} + 1\right)}{\left(x + 3\right) \left(\frac{x^{4}}{\left(x + 3\right)^{2}} + 1\right)}\right) = -0.148148148148148$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, -9.00821170614569\right] \cup \left[-1.20042585518685, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -1.20042585518685\right] \cup \left[1.39675165203272, \infty\right)$$