Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ arctan(x^(2)/(x+3))

Gráfico de la función y = arctan(x^(2)/(x+3))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           /   2 \
           |  x  |
f(x) = atan|-----|
           \x + 3/
f(x)=atan⁡(x2x+3)f{\left(x \right)} = \operatorname{atan}{\left(\frac{x^{2}}{x + 3} \right)} 
f = atan(x^2/(x + 3))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-5
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−3x_{1} = -3
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
atan⁡(x2x+3)=0\operatorname{atan}{\left(\frac{x^{2}}{x + 3} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en atan(x^2/(x + 3)).
atan⁡(023)\operatorname{atan}{\left(\frac{0^{2}}{3} \right)}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−x2(x+3)2+2xx+3x4(x+3)2+1=0\frac{- \frac{x^{2}}{\left(x + 3\right)^{2}} + \frac{2 x}{x + 3}}{\frac{x^{4}}{\left(x + 3\right)^{2}} + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−6x_{1} = -6
x2=0x_{2} = 0
Signos de extremos en los puntos:
(-6, -atan(12))

(0, 0)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Puntos máximos de la función:
x1=−6x_{1} = -6
Decrece en los intervalos
(−∞,−6]∪[0,∞)\left(-\infty, -6\right] \cup \left[0, \infty\right)
Crece en los intervalos
[−6,0]\left[-6, 0\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(−x4(xx+3−2)2(x+3)2(x4(x+3)2+1)+x2(x+3)2−2xx+3+1)(x+3)(x4(x+3)2+1)=0\frac{2 \left(- \frac{x^{4} \left(\frac{x}{x + 3} - 2\right)^{2}}{\left(x + 3\right)^{2} \left(\frac{x^{4}}{\left(x + 3\right)^{2}} + 1\right)} + \frac{x^{2}}{\left(x + 3\right)^{2}} - \frac{2 x}{x + 3} + 1\right)}{\left(x + 3\right) \left(\frac{x^{4}}{\left(x + 3\right)^{2}} + 1\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−9.00821170614569x_{1} = -9.00821170614569
x2=−1.20042585518685x_{2} = -1.20042585518685
x3=1.39675165203272x_{3} = 1.39675165203272
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=−3x_{1} = -3

lim⁡x→−3−(2(−x4(xx+3−2)2(x+3)2(x4(x+3)2+1)+x2(x+3)2−2xx+3+1)(x+3)(x4(x+3)2+1))=−0.148148148148148\lim_{x \to -3^-}\left(\frac{2 \left(- \frac{x^{4} \left(\frac{x}{x + 3} - 2\right)^{2}}{\left(x + 3\right)^{2} \left(\frac{x^{4}}{\left(x + 3\right)^{2}} + 1\right)} + \frac{x^{2}}{\left(x + 3\right)^{2}} - \frac{2 x}{x + 3} + 1\right)}{\left(x + 3\right) \left(\frac{x^{4}}{\left(x + 3\right)^{2}} + 1\right)}\right) = -0.148148148148148
lim⁡x→−3+(2(−x4(xx+3−2)2(x+3)2(x4(x+3)2+1)+x2(x+3)2−2xx+3+1)(x+3)(x4(x+3)2+1))=−0.148148148148148\lim_{x \to -3^+}\left(\frac{2 \left(- \frac{x^{4} \left(\frac{x}{x + 3} - 2\right)^{2}}{\left(x + 3\right)^{2} \left(\frac{x^{4}}{\left(x + 3\right)^{2}} + 1\right)} + \frac{x^{2}}{\left(x + 3\right)^{2}} - \frac{2 x}{x + 3} + 1\right)}{\left(x + 3\right) \left(\frac{x^{4}}{\left(x + 3\right)^{2}} + 1\right)}\right) = -0.148148148148148
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−9.00821170614569]∪[−1.20042585518685,∞)\left(-\infty, -9.00821170614569\right] \cup \left[-1.20042585518685, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−1.20042585518685]∪[1.39675165203272,∞)\left(-\infty, -1.20042585518685\right] \cup \left[1.39675165203272, \infty\right)
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−3x_{1} = -3
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞atan⁡(x2x+3)=−π2\lim_{x \to -\infty} \operatorname{atan}{\left(\frac{x^{2}}{x + 3} \right)} = - \frac{\pi}{2}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=−π2y = - \frac{\pi}{2}
lim⁡x→∞atan⁡(x2x+3)=π2\lim_{x \to \infty} \operatorname{atan}{\left(\frac{x^{2}}{x + 3} \right)} = \frac{\pi}{2}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=π2y = \frac{\pi}{2}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función atan(x^2/(x + 3)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(atan⁡(x2x+3)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x^{2}}{x + 3} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(atan⁡(x2x+3)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x^{2}}{x + 3} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
atan⁡(x2x+3)=atan⁡(x23−x)\operatorname{atan}{\left(\frac{x^{2}}{x + 3} \right)} = \operatorname{atan}{\left(\frac{x^{2}}{3 - x} \right)}
- No
atan⁡(x2x+3)=−atan⁡(x23−x)\operatorname{atan}{\left(\frac{x^{2}}{x + 3} \right)} = - \operatorname{atan}{\left(\frac{x^{2}}{3 - x} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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