Sr Examen

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|3x²-4|x|-15|
Trazado el gráfico de la función/ |3x²-4|x|-15|

Gráfico de la función y = |3x²-4|x|-15|

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       |   2    |        
f(x) = |3*x  - 4|*x*|-15|
f(x)=x∣3x2−4∣∣−15∣f{\left(x \right)} = x \left|{3 x^{2} - 4}\right| \left|{-15}\right| 
f = (x*|3*x^2 - 4|)*|-15|
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-100000100000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x∣3x2−4∣∣−15∣=0x \left|{3 x^{2} - 4}\right| \left|{-15}\right| = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
x2=−233x_{2} = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}
x3=233x_{3} = \frac{2 \sqrt{3}}{3}
Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
x2=1.15470053837925x_{2} = 1.15470053837925
x3=−1.15470053837925x_{3} = -1.15470053837925
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (|3*x^2 - 4|*x)*|-15|.
0∣−4+3⋅02∣∣−15∣0 \left|{-4 + 3 \cdot 0^{2}}\right| \left|{-15}\right|
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(6x2sign⁡(3x2−4)+∣3x2−4∣)∣−15∣=0\left(6 x^{2} \operatorname{sign}{\left(3 x^{2} - 4 \right)} + \left|{3 x^{2} - 4}\right|\right) \left|{-15}\right| = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0.666666666666667x_{1} = 0.666666666666667
x2=−0.666666666666667x_{2} = -0.666666666666667
Signos de extremos en los puntos:
(0.6666666666666666, 1.77777777777778*|-15|)

(-0.6666666666666666, -1.77777777777778*|-15|)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−0.666666666666667x_{1} = -0.666666666666667
Puntos máximos de la función:
x1=0.666666666666667x_{1} = 0.666666666666667
Decrece en los intervalos
[−0.666666666666667,0.666666666666667]\left[-0.666666666666667, 0.666666666666667\right]
Crece en los intervalos
(−∞,−0.666666666666667]∪[0.666666666666667,∞)\left(-\infty, -0.666666666666667\right] \cup \left[0.666666666666667, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
18x(4x2δ(3x2−4)+sign⁡(3x2−4))∣−15∣=018 x \left(4 x^{2} \delta\left(3 x^{2} - 4\right) + \operatorname{sign}{\left(3 x^{2} - 4 \right)}\right) \left|{-15}\right| = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x∣3x2−4∣∣−15∣)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(x \left|{3 x^{2} - 4}\right| \left|{-15}\right|\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(x∣3x2−4∣∣−15∣)=∞\lim_{x \to \infty}\left(x \left|{3 x^{2} - 4}\right| \left|{-15}\right|\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (|3*x^2 - 4|*x)*|-15|, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(∣−15∣∣3x2−4∣)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left|{-15}\right| \left|{3 x^{2} - 4}\right|\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞(∣−15∣∣3x2−4∣)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\left|{-15}\right| \left|{3 x^{2} - 4}\right|\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x∣3x2−4∣∣−15∣=−x∣−15∣∣3x2−4∣x \left|{3 x^{2} - 4}\right| \left|{-15}\right| = - x \left|{-15}\right| \left|{3 x^{2} - 4}\right|
- No
x∣3x2−4∣∣−15∣=x∣−15∣∣3x2−4∣x \left|{3 x^{2} - 4}\right| \left|{-15}\right| = x \left|{-15}\right| \left|{3 x^{2} - 4}\right|
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = |3x²-4|x|-15|
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